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随机信号分析 第三章习题答案

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2?）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。求

（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1） E?X(t)??E?A??E??cos?t?B????2 A与B相互独立 R?t,t????EA2?11X2cos??5?2cos?

（2） E?1?X2?t????52???X?t?是平稳过程 T

X(t)?1Tlim??2T??TX?t?dt?A

3-1 已知平稳过程X(t)的功率谱密度为G32X(?)?(?2?16)，求：①该过程的平均功率？

②?取值在(?4,4)范围内的平均功率？

解

2(1)：P?E?X??t????12?????GX???d?方法一(时域法)?2?4??4?R(?)?F?1?GX(?)??4?F?1?2?4?e2?4????P1?R(0)?4方法二(频域法)1?1P1?G(?)d??X2????2?4?1???d?42??????41????4?1'arctanx???1?x232???42??2d??(2)?取值范围为?-4,4?内的平均功率P2?

12?32??442??2d?4

?23-7如图3.10所示，系统的输入X(t)为平稳过程，系统的输出为

Y(t)?X(t)?X(t?T)。证明：输出Y(t)的功率谱密度为GY(?)?2GX(?)(1?cos?T)

解:已知平稳过程的表达式

?利用定义求RY(?)?E[Y(t)Y(t??)]?GY(?)?F?RY(?)?RY(?)?E[Y(t)Y(t??)]?E?{X(t)?X(t?T)}{X(t??)?X(t???T}??2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)系统输入输出平稳GX(?)?RX(?)GY(?)?RY(?)利用傅立叶变换的延时特性?GY(?)?2GX(?)?GX(?)e?j?T?GX(?)ej?T?ej?T?e?j?T??2GX(?)?2GX(?)??2???2GX(?)(1?cos?T)