内容发布更新时间 : 2024/5/9 15:34:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

线段的垂直平分线与角平分线专题复习

知识点复习：

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点

C的距离相等.

定理的数学表示：如图1，∵ CD⊥AB，且AD＝BD

∴ AC＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线的判定定理：

mAD图1BC到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC＝BC

∴ 点C在线段AB的垂直平分线m上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于线段垂直平分线性质定理的推论

AimAD图2B（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距．．．．．离相等.

性质的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

kOBj图3C若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，

∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D， ∴ CF＝DF.

BDEFO图4CA定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

定理的数学表示：如图5，

∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD， ∴点P在∠AOB的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线

6、关于三角形三条角平分线的定理：

RFIQEDPO图5BCAA（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ABC、∠ACB的平分线，那么：

① AP、BQ、CR相交于一点I；

② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

B图6PDC（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

精品习题：

1．在△ABC中，∠C=90o，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.

2．如图，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则S?CBA

DCA?:S= （ ）

A．3:4 B．4:3 C．16:19 D．不能确定

3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S?ABO：S?BCO：S?CAO等于______.

4．如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为 ．

5．AD∥BC，∠D=90，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（ ）

A．PD>PC B．PD

6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )

A．在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处

C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在∠A、∠B的角平分线的交点处 7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )

A．25o B.30o C.45o D.60o

?

8．AC=AD，BC=BD，则有（ ）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP

10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。

A、1 B、2 C、3 D、4

11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．

12．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与 AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.

13．如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．

14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．