内容发布更新时间 : 2025/2/6 14:42:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

等差数列的概念、性质

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教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示。用递推关系系表示为an?1?an?d?n?N??或an?an?1?d?n?2,n?N?? 2. 等差数列的通项公式

若?an?为等差数列，首项为a1，公差为d，则an?a1??n?1?d 3. 等差中项

如果三个数x,A,y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项 4. 通项公式的变形

对任意的p,q?N?，在等差数列中，有：

ap?a1??p?1?d

aq?a1??q?1?d 两式相减，得ap?aq??p?q?d 其中p,q的关系可以为

p?q,p?q,p?q

5. 等差数列与函数的关系

由等差数列的通项公式an?a1??n?1?d可得an?dn??a1?d?，这里a1,d是常数，n是自变

量，an是n的函数，如果设d?a,a1?d?b,则an?an?b与函数y?ax?b对比，点?n,an?在函数y?ax?b的图像上。 6. 等差数列的性质及应用

（1）a1?an?a2?an?1?a3?an?2?...

（2）若m?n?p?q?2w,则am?an?ap?aq?2aw（m,n,p,q,w都是正整数） （3）若m,p,n成等差数列，则am,ap,an也成等差数列（m,n,p都是正整数） （4）an?am??n?m?d（m,n都是正整数）

（5）若数列?an?成等差数列，则an?pn?q?p,q?R?

（6）若数列?an?成等差数列，则数列??an?b?（?,b为常数）仍为等差数列 （7）若?an?和?bn?均为等差数列，则?an?bn?也是等差数列

类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解

例1.（2015河北唐山月考）数列?an?是首项a1??1，公差d?3的等差数列，若an?2015, 则n? A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得an?a1??n?1?d??1??n?1??3?3n?4,令an?2015，解得n?673 答案：B

练习1. 数列?an?是首项a1??1，公差d?3的等差数列，若an?2003, 则n? A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A

练习2. 数列?an?是首项a1??1，公差d?3的等差数列，若an?2000, 则n? A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B

例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d为（）

A.-2 B.-3 C.-4 D.-6 解析：由题意知a6?0,a7?0 所以有

a1?5d?23?5d?0a1?6d?23?6d?0解得

?2323?d??,Qd?Z?d??4 56答案：C

练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D

练习4.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B

例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列?an?满足a1?1,an?1?1?1, 其中n?N?设4anbn?22an?1

（1） 求证：数列?bn?是等差数列 （2） 求数列?an?的通项公式 解析：（1）bn?1?bn?列

22an?1?12an?1?2?4an4a?22??n?2 所以数列?bn?是等差数

2an?12an?12an?1Qa1?1,?b1?（2）

2?2?bn?b1??n?1?d?2n2a1?1n?12n?22an?1

?2n,an?答案：（1）略 （2）an?n?1 2nan?11?n?2?令bn?

an?1?1an练习5.已知数列?an?满足a1?4,an?（1） 求证：数列?bn?是等差数列

（2） 求数列?bn?与?an?的通项公式 答案：（1）数列?bn?是公差为1的等差数列 （2）an?43 ，bn?n? 4n?34练习6.在等差数列?an?中，已知a5??1,a8?2, 求a1,d 答案：a1??5,d?1

例4.已知数列8,a,2,b,c是等差数列，则a,b,c的值分别为____________