内容发布更新时间 : 2024/11/15 5:04:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

椭 圆

一.考试必“背”

1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a?F1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集

??d2 标准方程：

M={P|

PF?e，0＜e＜1的常数

?。（e?1为抛物线；e?1为双曲线）

x2y2（1）焦点在x轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中c?a2?b2（一个Rt?）

y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中c?a2?b2

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c? a2?b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜

B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

x2y23．参数方程 ：椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程

ab ?s?x?aco? (?为参数) ??y?bsinab224.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：x?y?1（a＞b＞0）有以下性质：

22坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a，|y|≤b；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； ③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；

（a半长轴长，b半短轴长）；

a2④ 准线方程：x??ca2；或y??

c⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；

|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r上=a-ey0;PF?a?c,PFmin?a?c max平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

c（焦距与长轴长之比）??0,1?；e越大越______，e?0是_____。 ab22a2⑦ 焦准距p?；准线间距?

cc二、焦点三角形

x2y2结论一：若F1、F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且

ab?F1PF2??，当点P位于___________时?最大，cos?=______________.

|PF1||PF2|的最大值为______________. S?F1PF2?btan2?2

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

x2y2结论三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2，?PF1F2??,?PF2F1??,则椭圆的离心率e?结论四：四心的轨迹

sin(???)。

sin??sin?x2y2x2y2(1)、2?2?1(a?b?0)焦点三角形内心的轨迹及其方程2??1．

abcb2c2(a?c)2x2y2(2)、2?2?1(a?b?0)焦点三角形重心的轨迹及其方程：

ab9x29y2?2?1(a?b?0) a2bx2y2(3)、2?2?1(a?b?0)焦点三角形垂心的轨迹及其方程：

aby??a(c2?x2)ba?x22

x2y2(4)、2?2?1(a?b?0)焦点三角形的外心的轨迹及其方程

ab22b?cbcsin?|y|?y??（）．

2b2sin?2b2三．中点弦问题

x2y2AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则直线的斜率

ab为 。

四．弦长问题.

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得的弦长 或 .

(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.

ab六．过椭圆上点切线问题

x0xy0yx2y2??1?2?1222P0(x0,y0)P0abab若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

习 题

x2y21、已知椭圆方程??1，椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离是2，N是MF1的中点，O

259是椭圆的中心，那么线段ON的长是（ ）（A）2

（B）4

（C）8 （D）

3 2x2y2??12．点P是椭圆2516上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，

当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.

x2y2C:2?2?1FFab213.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆

C上一点，且PF1?PF2.若?PF1F2的面积为9，则b=____________.

x2y2??1F,F|PF1|?4924.（2009北京文）椭圆的焦点为12，点P在椭圆上，若，则

|PF2|? ；

?F1PF2的大小为 .

x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角4．已知椭圆169