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复变函数论文

《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用

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《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用

摘录： 随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

1， Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；

当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项

虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI系统的微分方程为

y''(t)?3y'(t)?2y(t)?2x'(t)?3x(t),

系统的输入激励x(t)?e?3tu(t)，求该系统的零状态响应yzs(t)。

解：由于输入激励x(t)的频谱函数为

x(j?)?1， j??3根据微分方程可得到该系统的频率响应为

H(j?)?2(j?)?32(j?)?3?， 2(j?)?3(j?)?2(j??1)(j??2)故该系统的零状态响应yzs(t)的频谱函数Yzs(j?)为

Yzs(j?)?X(j?)H(j?)?2(j?)?3，

(j??1)(j??2)(j??3)将Yzs(j?)表达式用部分分式法展开，得

13?12， Yzs(j?)?2??j?j??2j??3由Fourier反变换，可得系统yzs(t)的零状态响应为

13yzs(t)?(e?t?e?2t?e?3t)u(t)

22例2：已知某连续时间LTI系统的输入激励x(t)?e?tu(t)，零状态 响应yzs(t)?e?tu(t)?e?2tu(t)，求该系统的频率响应H(jw)和单位冲 激响应h(t)。

解：对x(t)和yzs(t)分别进行Fourier变换，得