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数形结合思想在初中数学解题中的应用

作者：董德菊

来源：《新智慧·中旬刊》2019年第02期

【摘 要】数形结合思想是数学学科的基础思想之一，是提升数学解题准确率与效率的一种重要辅助思想。具体来讲，数形结合思想将原本复杂、抽象的语言与逻辑关系转化成简单的图形，将抽象的图形转化成严密的数字，直观地引导学生理解数学题目，形成形象的分析思路，从而突破数学难题。为此，文章从初中数学教材出发，结合初中数学学习中的重点题型，探究数学解题中数形结合思想的具体应用策略。 【关键词】数形结合；初中数学；解题应用

若想有效地提升初中生数学解题效率与准确率，需要完善的思维作为基础，在看到数学题目后能够快速找到解决问题突破口，因此，在教学过程中教师应有意识地引导学生掌握数学思想以及数学解题方法，帮助学生构建完善的思维逻辑体系，从这个角度来看，数形结合思想是数学学科中解决问题常用的一种辅助思维，实现了数与形之间的相互转化，以更为直白的语言帮助学生理解题目、解决问题。因此，合理地应用数形结合思想，能够帮助学生解决数学问题。

一、数与形相互转化策略

在很多数学题解题过程中，不单需要从数变形的角度来考虑解题，还要实现数与形的互变，使题目中的已知条件变得直观与严谨，从而找到解题的关键点。 （一）数变形

数变形是解题过程中数形结合思想最直接的体现，在很多问题的解决上可以将数学题目中的数字与已知条件转换成图形，帮助学生理解已知条件之间的关系，明确已知条件的意图，从而找到解决问题的办法。

例如，在二次函数解题过程中，初中阶段学生第一接触二次函数，这是初中数学的教学难点与重点，很多学生在学习过程中容易将函数中已知条件弄混，导致最终的分析错误。面对这样的情况，教师要通过数变形的思想进行解题，将数字转化成图形进行观察，分析函数在不同取值范围内的情况，分情况展开详细的讨论，保障最终获得全部解。例如：已知关于x的方程x+2kx+3k=0有两个根，两根在[-1，3]范围内，求其中k的取值范围。这种题型是二次函数的典型题目，可以看出解决问题过程中需要对k的取值范围展开不同的讨论，保证最终结果的全面性，因此为了避免结果出现遗漏可以绘制二次函数图像，令f（x）=x+2kx+3k，从图像中可以看出求k的解需要对三种情况展开分析，分别为f（-1）>0、f（3）>0、f（-k）≤0，将这三种情况代入函数得出：（-1）+2k（-1）+3k>0、3+2k·3+3k>0、（-k）+2k（-k）+3k≤0，通过

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解不等式可以求出k的最终取值范围。通过这道题目可以看出，数变形使抽象的数字更加直观，能够快速形成直观的解题思路，提升解题效率[1]。 （二）形变数

数形结合思想中的数与形的转化是可逆的，在有形的基础上，面对毫无规律的图形，可以将形转化成数，使数学题目更加严密，从而找到已知条件之间的逻辑与规律。

例如：已知直线y=x-2与抛物线y=x2+2x-2，求两者交点坐标。利用平面直角坐标系将直线与抛物线画出，虽然相交的交点并不能保障是准确的坐标交点，但是可以确定交点在第三象限与第四象限。这就可以看出图形虽然很直观，但是结果的准确性并不能保障，这时通过形变数思维，利用严密而精确的数字求解能够弥补图形的不足。将直线与抛物线方程联立，可以得到方程组，求出方程组的解为：x1=0x2=-1，y1=-2y2=-3，从而快速得到两个交点坐标，并代入到图形中检验，看交点坐标象限是否正确。

由此也可以看出，在应用数形结合思想过程中要从数与形两者可逆的角度进行思考[2]。 二、数与形相互帮助策略

在初中数学学习过程中经常遇到数量关系抽象的情况，如在不等式的学习中，这类题目数量关系抽象、已知条件抽象，需要数与形之间的有效配合才能帮助学生构建具体的思维，突破解题难点。

例如，在解不等式x-1≥-x2+2x+1这道题目时，已知条件十分抽象，仅仅给了一个不等式，而且不等式中数量关系也十分抽象，学生在解题过程中很难抓到头绪。因此，应发挥数字与图形发挥两者相互帮助作用，利用图形帮助学生直观地理解数字与已知条件，利用数字规范图形，保障图形的精准性。具体的解题为将不等式拆分成两个函数：A=x-1和B=-x2+2x+1，分别在直角坐标系中画出两个函数的图像，在图像上分析满足题目已知条件的图像范围，从而通过函数方程联立，求出两个函数交点坐标，根据坐标判断具体的x值[3]。在这类题目的解决过程中，并不是单纯地通过数与形之间的转化来分析已知条件，而是需要数字与图形之间的配合与帮助，发挥各自的优势，帮助学生从直观的、形象的图形中中找到解决的方法。 三、结语

综上所述，数形结合作为数学解题中常用的一种数学思想，能够将复杂而抽象的语言转化成图形，实现图形与数字之间的转化，从而帮助学生分析已知条件关系，让学生快速找到解题的关键点。久而久之，学生习惯于图形与数字之間的结合，能够在解题过程中突破时间与空间上的限制，快速联合图形与数字，提升解题的效率。因此，初中数学解题教学中教师应有意识地锻炼学生数形结合思维，以便在遇到难题时能够多角度地找到解题思路。 参考文献：

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[1]佘跃兴.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].读与写，2018，15（31）：144. [2]张龙.数形结合思想在初中数学教学中的渗透[J].考试周刊，2018，33（90）：101. [3]马超.数形结合思想在初中数学教学中的意义与应用[J].速读（下旬），2018，27（11）：90.