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2016级博士生数学复习题

1. 设f(x)?||x||是实Hilbert空间H上的泛函，证明，当x?0，f(x)在点x处沿着h方向的Gateaux微分。P81 证明：

x?th?x(x?th?x)(x?th?x)f(x?th)?f(x)lim?lim?limt?0t?0t?0ttt(x?th?x)x?th?xx?th,x?th?x,x2x,th?th,thlim?lim?limt?0t(x?th?x)t?0t?0t(x?th?x)t(x?th?x)?x,hx22

?于是，当x?0时，f在x处沿着h方向的Gateaux微分为：

Df(x,h)?

x,h x2. 设泛函

?x3y, (x,y)?(0,0)?x?y?42f(x,y)??x?y?0, (x,y)?(0,0)?，证明f(x,y)在点(0,0)处不是Frechet微分。P84

证明：由于

x3y1?x,?x,y?R 42x?y2所以f在点（0,0）处连续，令h?(?,?)，则有

(t?)3t?t??t??f(0?th)?f(0)(t?)4?(t?)2lim?lim???? t?0t?0tt?因此，f在点（0,0）处沿方向h的Gateaux微分为Df((0,0),(?,?))????，但是，如果令???2，则有

h?(?2??2)1/2?(?2??4)1/2

于是

?3?????4?(???)f(h)?f(0)?Df(0,h)???2lim?limh?0h?0h(?2??4)1/2???4?(?2)21?lim2??0h?0(???4)1/22?所以，f在点（0,0）处不是Frechet可微的。

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3. 设k(t,s)为[0,1]?[0,1]上的二元连续函数，定义以k(t,s)为积分核的积分算子

K:L2([0,1])?L2([0,1])为

(Kf)(t)??k(t,s)f(s)ds,?f?L2([0,1]).01P42

证明：对于任意的f,g?L2(?0,1?)，有

1Kf,g??k(t,s)f(s)ds,g(t)????k(t,s)f(s)ds?g(t)dt?00??0?11______????f(s)??k(t,s)g(t)dt?ds??00?0?11______1____?1__________?______f(s)??k(t,s)g(t)dt?ds?0???

_______________??11________1________????f(t)?k(t,s)g(s)dsdt?f,?k(t,s)g(s)ds00?0???则有

(Kf)(t)??k(t,s)f(s)ds,?f?L2(?0,1?)

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4. 求证：

(Kf)(t)??k(s,t)f(s)ds,?f?L2([0,1]).0*1

12n?1T(x1,x2,???)?(x2,x3,???,xn,???)23n.

求

T.P41

证明：对于任意的x?(x1,x2,?)?l2，有

12nTx?T(x1,x2,?)?(x2,x3,?,xn,?)23n?12n?1???(x2)2?(x3)2???(xn)2??)?3n?1?2?1/2???(x)1?(x2)2?(x3)2???(xn)2??)2?1/2

?(x2)2?(x3)2???(xn)2??)?1/2?x

于是T?1，另外，对于en?(0,?,0,1,0,?)，则有

Ten?0,?,0,nn,0,???1(n??) n?1n?1所以 T?1

5. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：

4uxx?5uxy?uyy?ux?uy?2?0.

证明：因为判别式??b2?4ac?9?0,故方程为双曲型。 其特征方程为

dydx11?1,?，则dy?dx,dy?dx, dxdy441求得特征线是y?x?c1,y?x?c2，

4???y?x,?其中c1，c2为任意常数，作变化 ?1

??y?x,?4?18可将方程化成双曲型第一标准型：u???u???0

39?s????,若再作变换，?

t????,?118方程就可化成双曲型第二标准型uss?utt?us?ut??0.

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