内容发布更新时间 : 2024/5/3 19:09:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

定积分在经济学中的应用

国会2班 李怡雯 1420110513

内容摘要：一直以来，定积分都是大学数学中的重要内容，它是解决实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，所以本文对定积分的概念以及它在经济学上的应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上的应用进行了举例分析。

关键词： 定积分 微分 经济学 边际函数 投资

1.定积分在边际函数中的应用

积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数. 设总量函数P(x)在区间I 上可导，其边际函数为P′(x)，[a, x]∈ I ，则总有函数

xP(x)??P?(u)du?P(a)

a当 x 从a 变到b 时，P(x)的改变量为

?P?P(x)?P(a)??P?(u)du

ax将 x 改为产量Q，且a=0 时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、

总利润L(Q)，

可得

QC(Q)??C?(x)dx?C(0)

0其中即为C(0)固定成本，?C?(x)dx为可变成本．

0QR(Q)??R?(x)dx （ 因为R(0)?0）

0QL(Q)??L?(x)dx?C(0)

0Q例 1。 已知某公司独家生产某产品，销售Q 单位商品时，边际收入函数为

R?(Q)?ab?c（元/单位）（a>0,b>0,c>0） 2(Q?b)求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.

解 ：(1)总收入函数为

R(Q)??R?(x)dx=?[0QQab0?x?b?2ab?ab?=a??cQ ?c]dx=???Q?b?x?b?0Q(2)设产品的价格为P，则R?PQ?a?ab?cQ，得需求函数为 Q?bP?aaba??c??c QQ(Q?b)Q?b2 .利用定积分由变化率求总量问题

如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。

例2 已知某产品总产量的变化率为Q?(t)?40?12t ( 件/天) , 求从第5 天到

第10 天产品的总产量。

解 所求的总产量为

Q??Q?(t)dt

50??(20?12t)dt?(40t?6t2)|10)?(200?150)?650(件) 5?(400?6005103 .利用定积分求经济函数的最大值和最小值

例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为c0?1000元,产

品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。

解 总成本函数为c(x)??0(100?2t)dt?c(0) =100x?x2?1000

总收益函数为R( x ) = 500x

总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = 400x?x2?1000

L?= 400- 2x

x令L?= 0, 得x= 200 因为L?? ( 200) < 0

所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400

?200-2002-1000=39000( 元) 。

4", 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余

在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P的单调递减函数。

同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P的单调递增函数。

由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=f?1(Q)与P= g?1(Q), 此时函数P=f?1(Q)也称为需求函数, 而P=g?1(Q)也称为供给函数。

需求曲线(函数) P=f?1(Q)与供给曲线(函数) P=g?1(Q)的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。

假设消费者以较高价格P= f?1(Q)购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在[ Q, Q+?Q]内消费者消费量近似为f?1(Q)?Q, 故消费者的总消费量为

?

Q*0f?1(Q)dQ,它是需求曲线P=f?1(Q)在Q与

Q*之间的曲边梯形OQ*Ap1的面积, 如图

如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为

?0f?(Q)dQ?p*Q*

它是曲边三角形P*AP1的面积。

如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价P?g?1(Q)出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。 同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, ?g?1(Q)dQ是生产

0Q*Q*