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2010年“北约”自主招生数学试题

1．（仅文科做）0???

2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为

3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分）

4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ5?1．（25分） 2?，求证：sin????tan?． 21在t0时取得最小值，问当0?t0?时，夹角的取值范围．（25分）

5

5．（仅理科做）存不存在0?x?

1

?，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 22011北约自主招生数学试题

?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

?2求过抛物线

?3、等差数列

满足=

，

，这个数列的前n项和为，数列

中哪一

2

，

交点的直线方程。

项最小，并求出这个最小值。

?4、?ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为?ABC的内角，求证：C≤? 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？

?6、和是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

?7、求f(x)=

的最小值。

都相切，。

2012年“北约”自主招生数学试题

1、求x的取值范围使得f(x)?x?2?x?x?1是增函数；

2、求x?11?6x?2?

x?27?10x?2?1的实数根的个数；

2

3、已知(x2?2x?m)(x2?2x?n)?0的4个根组成首项为

1的等差数列，求m?n； 4

4、如果锐角?ABC的外接圆的圆心为O，求O到三角形三边的距离之比；

5、已知点A(?2,0),B(2,0)，若点C是圆x2?2x?y2?0上的动点，求?ABC面积的最小值。

6、在1,2,?,2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？

7、求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在[0,?)有唯一解的a；

8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；

9、求证：对于任意的正整数n，(1?2)n必可表示成s?s?1的形式，其中s?N?

2013年北约自主招生数学试题

1．以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？

A．2 B．3 C．5 D．6

2．在6?6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？

3．已知x?2y?5，y?2x?5，求x?2xy?y的值．

3

2232234．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为∠ADB、∠ADC的角平分线，试比较BM＋CN与MN的大小关系，并说明理由．

Ｍ

E Ｂ Ｄ Ｎ Ｃ Ａ

5．设数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn，Sn?1?4an?2，求a2013．

6．模长为１的复数x,y,z满足x?y?z?0，求

7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．

8．已知ai，i?1,2,3,?,2013为2013个实数，满足a1?a2?a3???a2013?0，且

xy?yz?zx．

x?y?za1?2a2?a2?2a3?…?a2013?2a1，求证a1?a2?a3???a2013?0．

4

9．对于任意的?，求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值．

10．已知有mn个实数，排列成m?n阶数阵，记作aij6??m?n使得数阵的每一行从左到右都是

递增的，即对任意的i?1,2,3,?,m，当j1?j2时，有aij1?aij2；现将aij??m?n的每一列原有，即对任意

的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m?n阶数阵，记作a'ij的j?1,2,3,?,n，当i1?i2时，有a'i1j?a'i2j，试判断a'ij并加以证明．

??m?n??m?n中每一行的各数的大小关系，

2014年北约自主招生数学试题

1.圆心角为60的扇形面积为6?,求它围成的圆锥的表面积.

2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.

3.如果f(x)?lg(x2?2ax?a)的值域为R,求a的取值范围.

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