内容发布更新时间 : 2024/12/25 15:50:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
一 函数的概念
①设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到
B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作f:A?B.
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数.
②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
③f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤y?tanx中,
x?k???2(k?Z).
⑥零(负)指数幂的底数不能为零.
二 函数的表示法
函数的表示方法:表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
映射的概念
①设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合
B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射,记作f:A?B.
② 给定一个集合A到集合B的映射,且a?A,b?B.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.
三 单调性与最大(小)值
1函数的单调性
①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时,都有f(x1)
2最大(小)值定义
①一般地,设函数y?f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x?I,
x?If(x0)?M都有f(x)?M;(2)存在0,使得.那么,我们称M是函数f(x) 的
最大值,记作
fmax(x)?M.
(2) 一般地,设函数y?f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:(1)对于任意的x?I,
x?If(x0)?m都有f(x)?m;(2)存在0,使得.那么,我们称m是函数f(x)的最小
值,记作:f(x)min = m
四 函数的奇偶性
① 定义及判定方法
函数的 性 质 定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数. 图象 判定方法 (1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称) (1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y轴对称) 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数. ② 函数f(x)为奇函数,且在x?0处有定义,则f(0)?0.
③ 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相
反.
偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式 f(?x)?f(x) 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)?f(?x)?0
五 函数周期性、对称性
1周期性:对于函数y?f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x?T)?f(x)都成立,那么就把函数y?f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的 正数叫做最小正周期。nT( n∈Z,n≠0 )
2T 2 函数y?f(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为f(x?T)??f(x);
?(x+T)=?( x-T )
f(x?T)?11或f(x?T)??f(x)f(x);
3、函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)的周期是T=|(x+a)-(x+b)|=|a-b|
六 两个函数的图象对称性 1、
y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。
2、
y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。
3 函数y?f(x)与y??f(?x)图象关于原点对称
4
y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线
x?a?b2对称。
七 函数零点
1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数
y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x) 的图象与x轴交点的横坐标。即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点. 3、函数零点的求法: 求函数y?f(x)的零点:
○1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根;
○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
2y?ax?bx?c(a?0). 二次函数
21)△>0,方程ax?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二
次函数有两个零点.
22)△=0,方程ax?bx?c?0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一
个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
23)△<0,方程ax?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零
点.