内容发布更新时间 : 2024/5/6 22:03:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高等代数（一）考试试卷

一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）

1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式D?aij展开式中取负号的项.

A、a11a22a33a44. B、a14a23a31a42. C、a12a23a31a44. D、a23a41a32a14.

1342．行列式023中元素a的代数余子式是（ ）.

?2a?4A、03?24. B、?03?24. C、?1403. D、1403.

3．设A,B都是n阶矩阵，若AB?O，则正确的是（ ）. A、r(A)?r(B)?n. B、A?0. C、A?O或B?O. D、A?0.

4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.

A、{0}. B、?0,?,??. C、??1,?2,?,?r?，其中?1?m?2.

D、??1,?2,?,?r?，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A是n阶矩阵且r(A)?r?n，则A中（ ）.

A、必有r个行向量线性无关. B、任意r个行向量线性无关.

C、任意r个行向量构成一个极大线性无关组. D、任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表出.

6．n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ）条件. A、充要. B、充分非必要. C、必要非充分. D、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.

1．若A为n阶矩阵，k为非零常数，则kA?kA. （2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （5．任何数域都包含有理数域. （三、填空题（每空4分，共24分）.

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） ） ） ） ）

001．行列式D??0n00??01?20???? .

0000?(1,?0,?2)??(1,?3,，1则?? ，

n?1?0?2．已知5(1,?0,??1)?3(?,?)? .

?1?23?1?1??2?110?2??，则r(A)? . 3．矩阵A????2?58?43???11?11?2???a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn24．设线性方程组?有解，其系数矩阵A与增广矩阵A的秩分

??????????an1x1?an2x2???annxn?bn别为s和t，则s与t的大小关系是 . ?111??123??,B???1?24?，则A?1B? . 11?15．设A?????????1?11???051??

四、计算题（4小题，共42分）

a11111a1111．计算行列式（1）；（2）

11a11111a1636152514.（每小题6分，共12分） 16121612564?x1?2x2?x3?3x4?2x5?1?2x?x?x?x?3x?6?123452．用基础解系表出线性方程组?的全部解.（10分）

x?x?2x?2x?2x?2345?12??2x1?3x2?5x3?17x4?10x5?53．求与向量组?1?(1,1,1,1),?2?(1,?1,0,4),?3?(3,5,1,?1)等价的正交单位向量组.（10分）

??211??的特征根和特征向量.（10分） 0204．求矩阵A???????413??

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一、单选题（每题4分，共24分）

题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 二、判断题（每题2分，共10分）

题号 答案 1 × 2 × 3 √ 4 √ 5 √ 三、填空题（每空4分，共24分）

1．(?1)??12?15.?2??1n(n?1)2（1）6； （2）0； ?n!； 2．

?1??. ??12?523．3； 4．s?t；

323?22四、计算题（共42分）

1．（12分，每小题各6分） (1)解：

a1

111a1111a11a?31a?3?1a?3aa?31a1111a11111?(a?3)11a11a1111a111 ..............（3分） 1a11110a?100 ?(a?3)（3分） ?a(?3)a(?3 ...................1)00a?10000a?1注：中间步骤形式多样，可酌情加分

(2)解：

1111116541 ?21362516112161256413 进而

16626315525314，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分） 2443

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11 原式?211316626315525314 =(6?1)(5?1)(4?1)(5?6)(4?6)(4?5)??120 .......（3分）2443 2．（10分）

解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形

?1?2??1??221?32111?3122?23?5?17101??121?32?0?3?17?76????2??0?115?4??5??0?1?7?1161??121?321??01?1?54?1?4?????1??0?3?17?74????3??0?1?7?1163??121?321??1?01?1?54?1??0??????0?3?17?74??0???0?1?7?1163???0得同解方程组

?x1?2x2?x3?3x4?2x5?1? ?x2?x3?5x4?4x5??1?4x?8x?5x??145?321?321?1?1?54?1?? ..................（3分） 048?5?1??00000?取x4,x5为自由未知量，得方程的一般解为

?x1?2x2?x3?1?3x4?2x5?（其中x4,x5为自由未知量） ?x2?x3?1?5x4?4x5?4x??1?8x?5x45?31551将x4?0,x5?0代入得特解?0?(,?,?,0,0). ................（3分）

444?x1?2x2?x3?3x4?2x5?0?用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组?x2?x3?5x4?4x5?0

?4x?8x?5x?045?3?x1?2x2?x3?3x4?2x5?仍取x4,x5为自由未知量，得一般解?x2?x3?5x4?4x5，

?4x??8x?5x45?3将x4?1,x5?0和x4?0,x5?4分别代入得到一个基础解系：

?1?(?1,3,?2,1,0),?2?(9,?11,5,0,4) ...............（3分）

所以，原方程组的全部解为

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?0?k1?1?k2?2，k1,k2为数域P中任意数。 ............（1分） 注：答案不唯一，但同一齐次方程组的基础解系必等价。

3．(10分)

解：因?1?(1,1,1,1),?2?(1,?1,0,4),?3?(3,5,1,?1)是线性无关向量组，现将 ?1,?2,?3正交化，

令?1??1， ?2??2?(?2,?1)4?1?(1,?1,0,4)?(1,1,1,1)?(0,?2,?1,3)

(?1,?1)4?3??3?(?3,?1)(?,?)8?14?1?32?2?(3,5,1,?1)?(1,1,1,1)?(0,?2,?1,3)(?1,?1)(?2,?2)414?(1,1,?2,0) ............................（6分）

再将向量组?1,?2,?3单位化，得

?1??2??11111?(,,,)， 2222?1?214?(0,?2,?1,3)， 14?2?3??36?(1,1,?2,0). 6?3即?1,?2,?3就是与?1,?2,?3等价的正交单位向量组。 ....................（4分） 注：答案不唯一。

4．（10分）

解：A的特征多项式为

??2f(?)??E?A?04?1?10?(??1)(??2)2

??2?1??3所以A的特征值为?1,2（2重）. ....................（4分）

???1对应的齐次线性方程组为

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?x1?x2?x3?0? ??3x2?0?4x?x?4x?03?12?1??， 0它的基础解系是?1??????1?? k1?1（k1?0）为A的属于特征值?1的特征向量； .................（3分）

??2对应的齐次线性方程组为

4x1?x2?x3?0

?1?14?4?????它的基础解系是?2??1?,?3??0?；

???0???1??...............（3分） k2?2?k3?3（k2,k3不同时为零）为A的属于特征值2的特征向量.

注：答案不唯一.

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