内容发布更新时间 : 2024/12/25 9:36:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
50 基本不等式:
教材分析
“”的证明学生比较容易理解,学生难理解的是“当且仅当a=b时取
‘=’号”的真正数学内涵,所谓“当且仅当”就是“充分必要”.
教学重点是定理及其应用,难点是利用定理求函数的最值问题,进而解决一些实际问题. 教学目标
1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明,并能从几何意义的角度去解释,形成数形结合的完美统一.
2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明,及其几何意义,会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题.
3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力,通过定理的应用揭示数学的应用价值. 任务分析
这节内容从实际问题情境展开探讨,“如要围成面积为16m的一个矩形,所需绳子最短是多少?即设长为x,宽为,则周长为l=2x+2×,求当x取何值时,l最小.”让学生去猜测,去思考,充分调动学生的积极性,激发学生的想象和猜想能力.当学生猜想它应为正方形这一结论时,教师适时引导如何去证明猜想的正确性,激发学生的求知欲望,从而达到由问题到结论的证明,开阔学生的思路,陶冶学生的情操. 教学设计 一、问题情境
教师出示问题,引导学生分析、思考:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为
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4800m,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元?
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二、建立模型
1. 通过比较a+b与2ab的大小,引入重要不等式. ∵a+b-2ab=(a-b), ∴当a≠b时,(a-b)>0; 当a=b时,(a-b)=0.
即(a-b)≥0,从而有a+b≥2ab. 2. 结论明晰
定理1 如果a,b∈R,那么a+b≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”号).
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思考:对于定理1和定理2,当且仅当a=b时取“=”号的具体含义是什么? 三、解释应用 [例 题]
1. 已知x,y都是正数,求证:
小结;上述结论是我们用定理求最值的依据,可简述为和为定值积最大,积为定值和最小. 2. 设法解决本节课开始提出的问题.
因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价为297600元.
3.0求证:在直径为d的圆内接矩形中,面积最大的是正方形,并且这个正方形的面积等于d.
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