内容发布更新时间 : 2024/5/22 10:26:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.2.5 判断可数集

要判断一个集合A是否为可数集，大致有如下方法：

方法一. 按照可数集的定义， 若A为有限集，则A一定是可数集，否则若A可与自然数集之间存在一个1-1映射，则A为可数集。

方法二. 若A中所有元素可某种规律排列出来，则A是可数集。 方法三. 若A是两个不相交的可数集的并集，则A是可数集。 方法四. 若A是某个已知是可数集的集合的子集，则A是可数集。 方法五. 若A是可数无穷多个可数集合的并集，则A是可数集合。 方法六. 若A是两个可数无穷集合的笛卡儿乘积，则A是可数集合。 例1.2.5 证明全体整数做成的集合是可数集。 证法一：建立自然数集到整数集的映射σ如下：

?x?1??x?2x?x?2|x|?1?若x?0若x?0 若x?0显然，σ是自然数集到整数集的1-1映射。因此，整数集是可数集。

证法二：因整数集可排成如下次序： {0，1，-1，2，-2，3，-3，……}， 所以，整数集是可数集。

证法三：因自然数集{1，2，3，……}是可数集，所以将该集合中每个元素加负号得到的集合{-1，-2，-3，……}亦是可数集，{0}是有限集，当然可数，因此，这三个互不相交的可数集合的并集，即整数集，仍是可数集。

证法四：若已知有理数集合是可数集，则由于整数集是有理数集合的子集，因此，整数集是可数集。

由此例和方法五还知，Z×Z也是可数集。

1.2.6 部分序关系

求部分序集的极大元、极小元、最大元、最小元、上确界、下确界、Hasse图的画法等，难度不大，只要基本概念清楚就能解答。

例1.2.6 设?，?是集合A上的二元运算，对任意a,b,c? A，满足： （1）(a?b) ?c=a?(b?c), (a?b) ?c=a? (b?c); （2）a?b=b?a, a?b=b?a;

（3）a?（b?a）= a, a?（b?a）= a。 现在定义A上的关系“≤”如下：

a≤b ? a?b=a,

试证明：

① ≤是A上的部分序关系；

② 对任意a,b?A，{a,b}均有一个上确界和下确界。

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证明：①只需证明≤具有自反性、反对称性和传递性。

由题设“≤”关系的定义知，a≤b ?a?b=a,故 a≤a ? a?a=a，因此要证明≤具有自反性，只需证明a?a=a。

而a?a = a?（a?（b?a）） 由（3）的第2式 = a?（（b?a）? a） 由（2）的第2式 = a 由（3）的第1式 因此，a≤a，≤具有自反性。

对任意a,b? A，如果a≤b且b≤a，由“≤”关系的定义知，a?b=a，且b?a=b，再由（2）的第1式知，a?b=b?a,，故a=b。因此，≤具有反对称性。

对任意a,b,c? A，如果a≤b且b≤c，由“≤”关系的定义知，a?b=a，且b?c=b，故 a?c=( a?b) ? c

= a?(b?c) 由（1）的第1式 = a?b

=a，

因此，a≤c，≤具有传递性。 综上，≤是A上的部分序关系。

② 对任意a，b? A，

a?（a?b）= a?（b?a） 由（2）的第2式

= a， 由（3）的第1式

即，a≤a?b。

b?（a?b）=b， 由（3）的第1式 即，b≤a?b。

故a?b是{a,b}的上界。

若c是{a,b}的上界，即a≤c，b≤c，则有a?c=a，且b?c=b，所以， a?c=(a?c) ?c

=c?(a?c) 由（2）的第2式 =c， 由（3）的第2式 同理，b?c=c，故

（a?b）?c= a?（b?c）= a?c=c，所以， a?b）?c=（a?b）?（（a?b）?c） =（a?b）?（c ?（a?b）） 由（2）的第2式 = a?b 由（3）的第1式 因此，a?b≤c。综上，a?b是{a,b}的上确界。

对任意a，b? A，

（a?b）? a = a?（b?a） 由（1）的第1式

= a?（a?b） 由（2）的第1式 =（a?a）?b， 由（1）的第1式 = a?b 由≤的自反性

所以，a?b≤a。

（a?b）? b = a?（b?b） 由（1）的第1式

= a?b， 由≤的自反性

故，a?b是{a,b}的下界。

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若c是{a,b}的下界，即c≤a，c≤b，则有c?a=c，且c?b=c，所以， c?( a?b)=( a?b) ? c 由（2）的第1式 =a?(b?c) 由（1）的第1式 = a?(c?b) 由（2）的第1式 = a?c

= c?a 由（1）的第1式 = c 故，c≤a?b。

综上，a?b是{a,b}的下确界。

不难发现，例1.2.6中的两个运算?和?是对偶的，?是求下确界的运算，?是求上确界的运算，所以，A上的部分序关系又可以定义为：a≤b ? a?b=a。

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§1.3第一章习题解答

1.3.1习题1.1解答

1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？

{a}?S,{a}?R,{a,4,{3}}?S,{{a},1,3,4}?R,R=S,{a}?S,{a}?R,??R,??{{a}}?R?E,{?}?S,??R,??{{3},4}。

解： {a}?S?，{a}?R?，{a，4，{3}} ? S?，{{a}，1，3，4 } ? R?，R = S?，{a}? S?，{a}? R?，? ? R?，? ? {{a}} ? R ? E?，{?} ? S?，??R?，? ? {{3}，4 }?

2写出下面集合的幂集合 {a，{b}}，{1，?}，{X，Y，Z}

解： 设A={a，{b}}，则?(A)={ ?，{a}，{{b}}，{a，{b}}}； 设B={1，?}，则?(B)= { ?，{1}，{?}，{1，?}}；

设C={X，Y，Z}，则?(C)= { ?，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y， Z }，{X，Y，Z}}；

3对任意集合A，B，证明： (1)A?B当且仅当?(A)? ?(B)； (2)?(A)??(B)??(A?B)； (3)?(A)??(B)=?(A?B)；

(4)?(A-B) ?(?(A)-?(B)) ?{?}。 举例说明：?(A)∪?(B)≠?( A∪B)

证明：(1)证明：必要性，任取x??(A)，则x?A。由于A?B，故x?B，从而x??(B)，于是?(A)? ?(B)。

充分性，任取x?A，知{x}?A，于是有{x}??(A)。由于?(A)? ?(B)，故{x}??(B)，由此知x?B，也就是A?B。

（2）证明：

任取X??(A)∪?(B)，则X??(A)或X??(B) ∴ X?A或X?B ∴ X?(A∪B) ∴ X??(A∪B)

所以?(A)∪?(B) ? ?( A∪B) （3）证明：

先证?(A)∩?(B) ? ?( A∩B)

任取X??(A)∩?(B)，则X??(A)且X??(B) ∴ X?A且X?B ∴ X? A∩B ∴ X??( A∩B)

所以?(A)∩?(B) ? ?( A∩B)

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再证?( A∩B) ? ?(A)∩?(B) 任取Y??(A∩B)，则Y? A∩B ∴ Y?A且Y?B

∴ Y??(A)且Y??(B) ∴ Y??(A)∩?(B)

所以?( A∩B) ? ?(A)∩?(B) 故?(A)∩?(B) = ?( A∩B)得证。

举例：A={1}，B={a}

则?(A)={ ?，{1}}，?(B)={ ?，{a}} ?(A)∪?(B) = { ?，{1}，{a}} A∪B={1，a}

?( A∪B)={ ?，{1}，{a}，{1，a}}

可见{1，a}??( A∪B)，{1，a}??(A)∪?(B) 所以?(A)∪?(B)≠?( A∪B) (4)对任意的集合x，若x=?，则x??( A-B) 且x?(?( A) -?( B))∪{?}。若x??，则x??( A-B)当且仅当x? ( A-B)当且仅当x? A?x?B当且仅当x??( A) ?x??( B) 当且仅当x?(?(A)-?(B))。综上所述，可知?(A-B) ?(?(A)-?(B)) ?{?}。

4.设A,B,C为任意三个集合，下列各式对否？并证明你的结论。 （1）若A?B且B?C，则A?C； （2）若A?B且B?C，则A?C； （3）若A?B且B?C，则A?C； （4）若A?B且B?C，则A?C。 解：（1）正确；（2）不正确，举一个反例即可；（3）不正确，举一个反例即可；（4）不正确，举一个反例即可。

5.对24名科技人员进行掌握外语情况的调查，其统计资料如下：会英、日、德、法语的人数分别是13，5，10和9。其中同时会英语、日语的人数为2。同时会说英语、德语或同时会说英语、法语，或同时会说德语、法语两种语言的人数均为4。会说日语的人既不会说法语也不会说德语。试求只会说一种语言的人数各为多少？同时会说英、德、法语的人数为多少？

解：设A，B，C，D分别代表会说英、日、德、法语人的集合。由已知条件知： ?A?=13，?B?=5，?C?=10，?D?=9，?A?B?=2，而?A?C?=?A?D?=?C?D?=4，?B?C?=?B?D?=?A?B?C?=?A?B?D?=?B?C?D?=?A?B?C?D?=0， ?A?B?C?D?=24。

对集合A，B，C，D应用容斥原理，并代如入已知条件得方程

24=37-14+?A?C?D?

于是?A?C?D?=1，这说明同时会说英、德、法语的人只有1人。

设只会说英、日、德、法语的人数分别是x1，x2，x3，x4，则

x1=?A?-?（B?C?D）?A?

=?A?-?（B?A ）?(C?A )?( A ?D)?

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