内容发布更新时间 : 2024/11/8 8:37:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
学习目标：1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1,1] π?π在?－＋2kπ，2?2单调 性 递增， 3π?π在?＋2kπ，2?2递减 [－1,1] ＋2kπ，k∈Z上在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增， ＋2kπ，k∈Z上在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－最值 π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 2π2x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？
π
[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
2
[基础自测]
1．思考辨析
(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．( ) (2)cos 1＞cos 2＞cos 3.( )
1?π?(3)函数y＝－sin x，x∈?0，?的最大值为0.( )
2?2?
?π??π?[解析] (1)错误．y＝sin x在?0，?上是增函数，在?，π?上是减函数．
2???2?
(2)正确．y＝cos x在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos 1＞cos 2＞cos 3.
1
1?π?(3)正确．函数y＝－sin x在x∈?0，?上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.
2?2?[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为________．
???π
?x?x＝2kπ－，k∈Z?
2???
[当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，
π
此时x＝2kπ－，k∈Z.]
2
3．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________． [0,2] [因为－1≤cos x≤1， 要使cos x＝m－1有意义， 须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
________．
(2)已知函数f(x)＝2sin?
正弦函数、余弦函数的单调性 (1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是?π＋2x?＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
??4?
[思路探究] 1.确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．
π
2．确定增区间→令u＝＋2x→y＝2sin u的单调递增区间．
4
(1)(－π，0] [(1)因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]
ππ?π?k∈Z，(2)令u＝＋2x，函数y＝2sin u的单调递增区间为?－＋2kπ，＋2kπ?，
24?2?πππ
由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z
242
3ππ
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
88
π?π??3π?所以函数f(x)＝2sin?＋2x?＋1的单调递增区间是?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z.
8?4??8?[规律方法] 1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式
2
子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． [跟踪训练]
π???ππ?1．(1)函数y＝sin?3x＋?，x∈?－，?的单调递减区间为________． 6???33?(2)已知函数y＝cos?
?π－2x?，则它的单调减区间为________． ??3?
2π??ππ??π
(1)?－，－?，?，?
9??93??3
π2π?ππ3π?(2)?kπ＋，kπ＋?(k∈Z) [(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 63?262?π2kπ4π2kπ
得＋≤x≤＋(k∈Z)． 9393
?ππ?又x∈?－，?， ?33?
π??所以函数y＝sin?3x＋?， 6??
2π??ππ??ππ??π
x∈?－，?的单调递减区间为?－，－?，?，?.
?
3
3??
3
9??93?
π??π??(2)y＝cos?－2x?＝cos?2x－?， 3??3??π
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
3
π2π?π2π?得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)．] 63?63?
利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． ?π??π?(1)sin?－?与sin?－?；
?18??10?
(2)sin 196°与cos 156°；
?23??17?(3)cos?－π?与cos?－π?. 【导学号：84352095】 ?5??4?
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