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苏教版七年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解

【学习目标】

1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义； 2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.

【要点梳理】

要点一、二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：

?x?2,(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：?

y?5.?(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

要点三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

?3x?1?0要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如? 也是二元一

x?2y?5?次方程组.

要点四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：

（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成

?x?a的形式． ??y?b资料来源于网络 仅供免费交流使用

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?2x?y?5无解，

?2x?y?6(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组?而方程组??x?y??1的解有无数个．

?2x?2y??2【典型例题】

类型一、二元一次方程

1．已知方程（m﹣2）x

n﹣1

+2y

|m﹣1|

=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．

【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答． 【答案与解析】

解：∵（m﹣2）x+2y=m是关于x、y的二元一次方程， ∴n﹣1=1，|m﹣1|=1， 解得：n=2，m=0或2，

若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去， 则m=0，n=2． 【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件． 举一反三：

【二元一次方程组的概念409142 例1（2）】 【变式1】已知方程2x【答案】-2，

m?3n﹣1|m﹣1|

?12?4ny?5是二元一次方程，则m= ，n= . 21 4【变式2】方程(a?1)x?(a?1)y?0，当a?___时，它是二元一次方程，当a?___时，它是一元一次方程． 【答案】?1；1或?1

类型二、二元一次方程的解

2.（2016春?新华区期中）已知

是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值．

【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于m的方程，可求得m的值． 【答案与解析】 解：∵

是方程2x﹣6my+8=0的一组解，

∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0， 解得m=﹣2．

【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．

【二元一次方程组的概念409142 例2（3）】

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举一反三：

【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是?【答案】

?x?m?1，求m的值.

?y?m?1?x?m?1解：将?代入方程2x-y+m-3=0得2(m?1)?(m?1)?m?3?0，解得m?3.

y?m?1?答：m的值为3.

3.写出二元一次方程4x?y?20的所有正整数解.

【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一

元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏. 【答案与解析】

解：由原方程得y?20?4x，因为x、y都是正整数， 所以当x?112，　8，　4. ，　2，　3，　4时，y?16，　所以方程4x?y?20的所有正整数解为：??x?1?x?2?x?3?x?4， ?， ?， ? .

?y?16?y?12?y?8?y?4【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为

正整数才是符合题意的解. 举一反三：

【变式1】（2015春?孟津县期中）已知y=7的解，求a的值．

【答案】 解：把

代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：

是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）

2a+3（2a﹣3）=7， 解得：a=2．

【变式2】在方程3x?4y?2?0中，若y分别取2、【答案】将3x?4y?2?0变形得x?1、0、－1、－4，求相应的x的值. 42?4y. 32 把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：

y 1 40 －1 －4 资料来源于网络 仅供免费交流使用