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中考数学专题复习学案二——新定义运算、新概念问题

【专题思路剖析】

“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能，因此越来越受到全国各地命题者的青睐，已经成为了近几年数学中考试题中的一道亮丽风景线。因对“新概念”试题的研究及突破对教师的教学和学生都具有很高的价值。

新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能，因此越来越受到全国各地命题者的青睐，已经成为了近几年数学中考试题中的一道亮丽风景线。因对“新概念”试题的研究及突破对教师的教学和学生都具有很高的价值。 【典型例题赏析】 类型1：新定义点

例题1：（2015年重庆B第23题10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.

(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；[来。 (2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(1?x?4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.

【答案】略，能被11整除；y=2x(1≤x≤4) 【解析】

试题分析：根据“和谐数”的定义写出数字，然后设“和谐数”的形式为abcd，则根据题意得出a=d，b=c，然后将这个四位数除以11，将其化成代数式的形式，用a和b来表示c和d，然后得出答案，进行说明能被11整除；首先设三位“和谐数”为zyx，根据定义得出x=z，然后根据同上的方法进行计算. 试题解析：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一） 任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位“和谐数”形式为：abcd，则满足：

最高位到个位排列：a,b,c,d 个位到最高位排列：d,c,b,a

由题意，可得两组数据相同，则：a?d,b?c 则

abcd1000a?100b?10c?d1000a?100b?10b?a1001a?110b????91a?10b为正整数 11111111∴ 四位“和谐数”abcd能被11整数 又∵a,b,c,d为任意自然数， ∴任意四位“和谐数”都可以被11整除

考点：新定义题型、代数的应用、一次函数的应用.

【变式练习】

（2015年浙江舟,24，12分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. （1）概念理解：

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；

（2）问题探究：

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；

②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠B的平分线BB'方向平移得到VA'B'C'，连结AA'，BC'. 小红要使平移后的四边形ABC'A'是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB'的长）？ （3）应用拓展：

如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC?2AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.

【答案】解：（1）DA?AB（答案不唯一）.

（2）①正确.理由如下：

∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形.

∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等.[中*%@国教育^出版#网] ∴这个四边形是菱形.

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC?5. ∵将Rt△ABC平移得到VA'B'C'，

∴BB'?AA'，AB'∥AB，A'B'?AB?2, B'C'?BC?1, A'C'?AC?5. i）如答图1，当AA'?AB?2时，BB'?AA'?AB?2； ii）如答图2，当AA'?A'C'?5时，BB'?AA'?A'C'?5；

iii）如答图3，当A'C'?BC'?5时，延长C'B'交AB于点D，则C'B'?AB.

1?ABB'?RABC?4502∵BB'平分?ABC，∴.

设B'D?BD?x，则C'D?x?1, BB'?2x.

222在Rt?BC'D中，BD?C'D?BC'，

∴

x??x?1??22?5?，解得x?1, x212??2（不合题意，舍去）.

∴BB'?2x?2.

iv）如答图4，当BC'?AB?2时，同ii）方法，设B'D?BD?x，

222x2??x?1??22BD?C'D?BC'可得，即，

2解得

x1??1?7?1?7, x2?22（不合题意，舍去）.

14?22.

∴

BB'?2x?14?22综上所述，要使平移后的四边形ABC'A'是“等邻边四边形”，应平移2或5或2或的距离.