内容发布更新时间 : 2024/5/17 20:06:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 求极限

极限的定义： limf(x)?A （唯一性、局部保号性、局部有界性）

x?[]若A?0，则x?U([])有f(x)>0。

极限存在的充要条件：limf(x)?A?limf(x)?limf(x)

x?x0x?x?0?x?x00求极限的方法 1. 四则运算

若limf(x)?A，limg(x)?B，则

x?[]x?[](1).limf(x)?limg(x)?lim[f(x)?g(x)]?A?B

x?[]x?[]x?[](2).limf(x)?g(x)?limf(x)?limg(x)?A?B

x?[]x?[]x?[]f(x)limA(3).若B?0，则limf(x)??

g(x)limg(x)Bx?[]x?[]x?[]若limf(x)?A，limg(x)不存在，则limf(x)?g(x)一定不存在，limf(x)?g(x)不一

x?[]x?[]x?[]x?[]定存在。 例：limx?sin1?0

x?0x]存在，则limf(x)，limg(x)都存在或者都不存在。 若lim[f(x)?g(x）x?[]x?[]x?[]若lim[f(x)?g(x)]?C，limf(x)?A，则limg(x)一定存在。

x?[]x?[]x?[]2. 函数的连续性

limf(x)?x?x0f(x0)?f(x)在x0是处连续的。

初等函数在其定义域内都是连续的。

两个重要的极限：limsinx?1，lim(1?)x?e （证明过程）

xx?0x?01x

0?，，?-?，1?，00，?0，0??型） 0?g(x)limlnf(x)x?[]g(x)以上指数形式用对数转化，即limf(x)=e?eA

3. 洛必达、泰勒公式 （求未定式

x?[]f(x)'若lim'x?[]g(x)f(x)'不存在，也不是?，则lim'x?[]g(x)一定不存在。

设f(x)在U(x0)有定义且在x0出有n阶导数，则?x?U(x0)，有

f(x0)''f(x0)(n)2nf(x)?f(x0）?f(x0)(x?x0)?(x?x0)????(x?x0）?O(x?x0)

2!n!'n阶具有皮亚

诺余项的泰勒公式

特别是x=0时，f(x)为n阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式。

o(xn)?o(xm)?o(xm)，（0?m?n）

此时f(x)多为ex,ln(1?x),sinx,cosx

n阶具有皮亚诺余项的麦克劳林公式至多展开至3阶。 4. 用等价无穷小替换

等价无穷小概念：若limf(x)?0，则f(x)为无穷小。

x?[]无穷小的比较：高阶、低阶、等阶、同阶

xsinlimxx?[]不存在且不是无穷大也不是无穷小，因为x?sinx、x不能比较

无穷小的性质： (1).f(x)~g(x),则g(x)~f(x)

~g(x),g(x)~h(x)，则f(x)~h(x) (2).f(x）若lim?(x)?lim?1(x)?lim?(x)?lim?1(x)，则有

x?[]x?[]x?[]x?[]

?1(x)?(x)?1(x)?(x)?lim ?lim?limlim?(x)x?[]?(x)x?[]?(x)x?[]?(x)1x?[]1整体因式相乘除时可以用等价无穷小替换，局部因式相加减或乘除时，不能替换。

常用的等价无穷小：x?0,(ex?1)~ln(1?x)~x

sinx~tanx~arctanx~arcsinx~x

1?cosx?12x,(1?x)??1~?x 25. 夹逼定理 （数列、函数）

ilyn?milzn?A，若｛xn｝，｛yn｝，｛zn｝满足①yn?xn?zn,n?N，②m则有limxnn??n???A

n??若f(x),g(x),h(x)在

U([])0满足①

h(x)?f(x)?g(x)，②limh(x)?limg(x)?A,则

x?[]x?[]limf(x)?A。

x?[]6. 利用定积分的某些数列和的极限

f(x)在C[a，b]上连续或f(x)在C[a，b]上有有限个第一类间断点或f(x)在C[a，b]上单调，则?baf(x)必存在，且?f(x)?lim?f(a?ban??i?11nnb?ab?ai) nn若a=0，b=1，则?0f(x)?lim?f(1)1

n??i?1nn7. 用导数的定义求极限

f(x)'?limx?x0f(x)?f(x0） x?x08. 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。 若?an收敛，则limani?1n?nn?0。

二、间断点类型