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2012高考数学复习专题-直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)（基础知识）

高考要求

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳

1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法

2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解

例1如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列

(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标；

yA(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围 BC命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第

ox综合性，灵活性强 F2F1三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，

知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法 B'错解分析 第三问在表达出“k=

25y0”时，忽略36了“k=0”时的情况，理不清题

目中变量间的关系

技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围

解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=a2?c2=3

x2y2?故椭圆方程为=1 259(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=|F2A|=

9254 因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有554425425(－x1),|F2C|=(－x2)， 5454由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得

4254259(－x1)+(－x2)=2×,由此得出 x1+x2=8 54545x?x2设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=1=4

2(3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上

22??9x1?25y1?9?25?? ①得?2 2??9x2?25y2?9?25 ②

①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,

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即9×(x1?x2y?y2y?y2)?25(1)?(1)=0(x1≠x2) 22x1?x2将

x1?x2y?y2y?y21?x0?4,1?y0,1?? (k≠0) 22x1?x2k代入上式，得9×4+25y0(－即k=

1)=0 (k≠0) k25y0(当k=0时也成立) 362516y0=－y0 99由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m, 所以m=y0－4k=y0－

由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部， 得－

991616＜y0＜,所以－＜m＜ 5555

③

解法二 因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为

1(x－4)(k≠0) kx2y2?将③代入椭圆方程=1,得 259y－y0=－

(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0

50(k0?4)25所以x1+x2==8,解得k=y0 (当k=0时也成立)

9k2?2536(以下同解法一)

2例2若抛物线y?ax?1上总存在关于直线x?y?0对称的两点，求a的范围

解法一 （对称曲线相交法）

22曲线y?ax?1关于直线x?y?0对称的曲线方程为?x?ay?1 2如果抛物线y?ax?1上总存在关于直线x?y?0对称的两点，则两曲线

y?ax2?1与?x?ay2?1必有不在直线x?y?0上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由

?y?ax2?122?y?x?a(x?y) ?2??x?ay?1∵ x?y?0,

oyy=ax2-1A'xx+y=0A-1∴ y?x?1 a2-x=ay2-12代入y?ax?1得 ax?x?1?1?0有a两个不同的解，

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1a3 4y教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设

∴ ??(?1)?4a(?1)?0?a?解法二 （对称点法）

2设抛物线y?ax2?1上存在异于于直线x?y?0的交

点的点A(x0,y0)，且

y=ax2-1A'A(x0,y0)关于直线x?y?0的对称点A?(?y0,?x0)也

则

o2在抛物线y?ax2?1上

xx+y=0-1?y0?ax0?1?2??x0?a(?y0)?1(1)-(2)得

(1)(2) 必有两

A组解

y0?x0?a(x02?y02) 必有两个不同解 ∵y0?x0?0， ∴a(x0?y0)?1有解

从而有 a[x0?(ax02?1)]?1有两个不等的实数解 即 a2x02?ax0?a?1?0有两个不等的实数解 ∴ ??(?a)2?4a2(?a?1)?0 ∵ a?0， ∴ a?3 4解法二 （点差法）

2设抛物线y?ax?1上以A(x1,y1),A?(x2,y2)为端点的弦关于直线x?y?0对称，且以M(x0,y0)为中点是抛物线

y?ax2?1（即x2?1(y?1)）内的点 a从而有 x1?x2?2x0,y1?y2?2y0 由??y1?ax?1?y2?ax?12122(1) (2)212yy=ax2-1A'oM (1)-(2)得 y1?y2?a(x?x2) ∴ kAA??xx+y=0-1Ay1?y2?a(x1?x2)?2ax0

x1?x21111,y0???M(,?) 2a2a2a2a第3页

由kAA??1?2ax0?1?x0?适用于新课程各种版本教材的教学 全国统一客服电话：400-715-6688

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12113)?(??1)?a? 2aa2a4教师备课、备考伴侣

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从而有 (

x2y2??1上有不同两点关于直线y?4x?m对称 例3 试确定m的取值范围，使得椭圆43x2y2??1上以A(x1,y1),A?(x2,y2)为端点的弦关于直线y?4x?m对称，解 设椭圆且以M(x0,y0)为中点是椭43x2y2??1内的点 圆43从而有 x1?x2?2x0,y1?y2?2y0

yy=4x+mAM?3x12?4y12?12由?22?3x2?4y2?12212(1)(2)

212 (1)-(2)得 4(y?y2)??3x(∴ kAA???x2 )

oA'x3xy1?y23(x1?x2)????0

x1?x24(y1?y2)4y03x11??0???y0?3x0 44y04由kAA???由M(x0,y0)在直线y?4x?m上?x0??m,y0??3m?M(?m,?3m)

(?m)2(?3m)24213213从而有 ??1?m2??m?(?,)

43131313例4 已知直线l过定点A(4,0)且与抛物线C:y?2px?(p?0)交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求p的值

y2解 可设直线l的方程为x?my?4代入y?2px? 得 y?2pmy?8p?0 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，

2oA(4,0)2PxQ????????y12y22(y1y2)2则y1y2??8p,x1x2????16 由题意知，OP⊥OQ，则OP?OQ?0

2p2p4p22即 x1x2?y1y2?16?8p?0 ∴p?2 此时，抛物线的方程为y?4x?

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