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第2讲 导数及其应用

「考情研析」1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.

核心知识回顾

1.导数的几何意义

01x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的(1)函数y＝f(x)在□02f′(x0)． 斜率，即k＝□03y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为□2．函数的单调性

01f′(x)＞0(f′(x)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间(1)在某个区间(a，b)内，如果□02单调递增(单调递减)． 内□(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： 03f(x)的定义域； ①确定函数□04导数f′(x)； ②求□05解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； ③在函数f(x)的定义域内□06单调区间． ④根据③的结果确定函数f(x)的□3．导数与极值

01f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“□02左正右负”?f(x)在x0处函数f(x)在x0处的导数□03极大值；04f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“□05左负右正”?f(x)取得□函数f(x)在x0处的导数□06极小值． 在x0处取得□4．求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 01极值； (1)求函数y＝f(x)在[a，b]内的□02各极值与□03端点处的函数值□04f(a)，f(b)的大小，最大的一个(2)比较函数y＝f(x)的□是最大值，最小的一个是最小值．

热点考向探究

考向1 导数的几何意义

?x＋2x，x≤0，?

例1 (1)(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)＝?2

??－x＋ax，x＞0

2

为奇函

数，则f(x)在x＝2处的切线斜率等于( )

A．6 C．－6 答案 B

B．－2 D．－8

解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝x－2x，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－x＋2x，f′(x)＝－2x＋2，则f′(2)＝－2，故选B.

1

(2)设直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )

2A．ln 2－1 C．2ln 2－1 答案 A

B．ln 2－2 D．2ln 2－2

22

11

解析 设切点坐标为(x0，ln x0)，则＝，即x0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点

x021

在直线y＝x＋b上，∴ln 2＝1＋b，即b＝ln 2－1.

2

134

(3)已知曲线y＝x＋，则曲线在点P(2,4)处的切线方程为__________；曲线过点P(2,4)

33的切线方程为__________．

答案 4x－y－4＝0 4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 1342

解析 ①∵P(2,4)在曲线y＝x＋上，y′＝x，

33∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.

134

②设曲线y＝x＋与过点P(2,4)的切线相切于

33134??2

点A?x0，x0＋?，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x0.

33??

?134?2

∴切线方程为y－?x0＋?＝x0(x－x0)，

3??3

2342

即y＝x0·x－x0＋. 33∵点P(2,4)在切线上，

234232

∴4＝2x0－x0＋，即x0－3x0＋4＝0，

33∴x0＋x0－4x0＋4＝0，

∴x0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

∴(x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

2

23

2

2

函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率，这是导数的几何意义，所以与导数有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数值等．注意切点既在原函数的图象上又在切线上这一条件的应用．

1．(2019·南阳市六校高二下学期第一次联考)曲线y＝e上的点到直线y＝x－2的最短距离是( )

A.2 C.32

2

B．2 D．1

x答案 C

解析 设与y＝x－2平行的直线与y＝e相切，则切线斜率k＝1.∵y＝e，∴y′＝e，由y′＝e＝1得x＝0，当x＝0时，y＝e＝1，即切点坐标为(0,1)，则点(0,1)到直线y＝x－2的距离是曲线y＝e上的点到直线y＝x－2的最短距离，∵点(0,1)到直线的距离为d＝|0－1－2|1＋－C.

2．若点P是函数f(x)＝x－ln x上任意一点，则P到直线x－y－2＝0的最小距离为( ) A.2

2

B.2 D．3

2

2

xxxx0

x＝2

3232x，∴曲线y＝e上的点到直线l：y＝x－2的距离的最小值为，故选22

1

C. 2答案 B

12

解析 由f′(x)＝2x－＝1得x＝1(负值舍去)，故曲线f(x)＝x－ln x上切线斜率为

x|1－1－2|

1的切点是(1,1)，所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为＝2，故选B.

2

π2

3．(2019·山西大学附属中学高二下学期模块诊断)函数f(x)＝ax＋sinx的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，则b的值为( )

π

A．1＋ 44

C．1＋ π答案 B

ππ?π?2

解析 ∵f(x)＝ax＋sinx，∴f′(x)＝2ax＋cosx.由题意，得f′??＝2a×＋cos

22?2?

π

B．1－

44

D．1－

π