内容发布更新时间 : 2025/1/9 13:00:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4讲 不等式

自主学习导引

真题感悟

1．(2012·浙江)若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 24

A.5 C．5

28B.5 D．6

解析 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解． 1?13?∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得5?y＋x?＝1.

??1?13?∴3x＋4y＝5(3x＋4y)?y＋x?

??

12y?131?3x12y?1?3x

＝5?y＋4＋9＋x?＝5＋5?y＋x? ????131≥5＋5×2答案 C

2．(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

3x12y

y·x＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.

年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为

A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50

解析 线性规划问题利用可行域求最优解．

x＋y≤50，??

设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知?1.2x＋0.9y≤54，

??x，y∈N＋

求目标函数z＝x＋0.9y的最

大值，根据题意画可行域如图阴影所示．

当目标函数线l向右平移，移至点E(30,20)处时，目标取得最大值，即当黄瓜30亩，韭菜20亩时，种植总利润最大． 答案 B 考题分析

利用基本不等式求最值是高考考查的重点，可单独命题，以选择题或填空题的形式出现；也可以是解答题的一部分．解答这部分题目有时需要一定的技巧，线性规划的题目一般不难，单独命题，只要掌握基本方法即可． 网络构建 高频考点突破

考点一：不等式的解法

2??x＋4x，x≥0，

【例1】 (1)(2012·扬州模拟)函数f(x)＝?则不等式f(2－x2)＞f(x)的解集是

2

??4x－x， x＜0，

________．

(2)在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b的值是

A．1 B．2 C．4 D．8

[审题导引] (1)利用函数f(x)的单调性，脱掉“f”，转化为二次不等式求解；

(2)根据新定义的运算，求出不等式，由不等式解集的端点与对应方程的根的关系可求a＋b. [规范解答] (1)作出函数y＝f(x)的图象可知函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， ∵f(2－x2)＞f(x)，∴2－x2＞x， 解得－2＜x＜1，

故不等式f(2－x2)＞f(x)的解集为(－2,1)． (2)不等式(x－a)?(x－b)＞0， 即不等式(x－a)[1－(x－b)]＞0，

即不等式(x－a)[x－(b＋1)]＜0.因为该不等式的解集为(2,3)，说明方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两

根之和等于5，即a＋b＋1＝5，即a＋b＝4.故选C. [答案] (1)(－2,1) (2)C 【规律总结】

不等式的解法

(1)求解一元二次不等式的基本思路是：先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)，即保证不等式的二次项系数为正值，在这种情况下写出的解集不易出错．再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，写出不等式的解集．

(2)分式不等式、对数或指数不等式一般利用相关的性质转化为一元二次不等式求解． 【变式训练】

x??2－－1，x≤0，

1．(2012·威海模拟)f(x)＝?若f(x0)＞1，则x0的取值范围________．

??x， x＞0，

??x0≤0，

解析 原不等式等价于?

??2－x0－1＞1??x0＞0，

或?解之得x0＜－1，或x0＞1. ??x0＞1，答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)

2??x－2x， x≥0，2．(2012·宿州模拟)若函数f(x)＝?是奇函数，则满足f(x)＞a的x的取值范

2??－x＋ax， x＜0

围是________．

解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， 即－1－a＝－(1－2)，

∴a＝－2，则不等式f(x)＞－2等价于 ???x≥0，?x＜0

?或? 22???x－2x＞－2?－x－2x＞－2解得x≥0或－1－3＜x＜0， 即x∈(－1－3，＋∞)． 答案 (－1－3，＋∞)