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第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

[基础

题组练]

1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．

2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )

B．矩形D．正方形

如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形． 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC. 又FG∥BD，

所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角． 而AC与BD所成的角为90°，

所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．

3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.

A．空间四边形

C．菱形

解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．

4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB＝CD，AB⊥

CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为( )

A.C.π

6π

B.D.

π

4π

32解析：选B.取BD的中点O，连接OE，OF，因为E，F分别为AD，BC的中点，AB＝CD，所以EO∥AB，

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1OF∥CD，且EO＝OF＝CD，又AB⊥CD，所以EO⊥OF，∠OEF为异面直线EF与AB所成的角，由△EOF为等

2腰直角三角形，可得∠OEF＝

π

4，故选B.

5．已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________________________________________________________．

解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′， 所以MN∥A′C′.

答案：平行

6．给出下列四个命题：

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；

③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；

④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．

其中真命题的序号是________．

解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三

条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．

答案：①②③

7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1

的交点．求证：D1、H、O三点共线．

证明：如图，连接BD，B1D1，

则BD∩AC＝O，

所以四边形BB1D1D为平行四边形， 又H∈B1D，

因为BB1綊DD1，

B1D?平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1， 所以H∈OD1.

即D1、H、O三点共线．

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8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

因为AB1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1. 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°.

[综合题组练]

1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β

的交线是( )

B．直线ABD．直线BC

A．直线ACC．直线CD解析：选C.由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β，

又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，

所以点D在平面ABC与平面β的交线上．

又因为C∈平面ABC，C∈β，

所以点C在平面β与平面ABC的交线上，

所以平面ABC∩平面β＝CD.

2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，|AB|＝2|BB1|，则AB1与BC1所成角的大小为( )

πB.πD.

32A.C.

π

65π12解析：选D.将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所

求角或其补角．设|BB1|＝2，则|BC|＝|CD|＝2，

∠BCD＝120°，|BD|＝23，