内容发布更新时间 : 2024/12/25 23:18:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
[基础
题组练]
1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
解析:选C.若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,知a∥b,与a,b异面矛盾.
2.已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( )
B.矩形D.正方形
如图所示,易证四边形EFGH为平行四边形. 因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC. 又FG∥BD,
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角. 而AC与BD所成的角为90°,
所以∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.
3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选B.
A.空间四边形
C.菱形
解析:选A.若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a?α,b?β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
4.(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,AB=CD,AB⊥
CD,则异面直线EF与AB所成角的大小为( )
A.C.π
6π
B.D.
π
4π
32解析:选B.取BD的中点O,连接OE,OF,因为E,F分别为AD,BC的中点,AB=CD,所以EO∥AB,
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1OF∥CD,且EO=OF=CD,又AB⊥CD,所以EO⊥OF,∠OEF为异面直线EF与AB所成的角,由△EOF为等
2腰直角三角形,可得∠OEF=
π
4,故选B.
5.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A′C′的位置关系是________________________________________________________.
解析:如图,由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′, 所以MN∥A′C′.
答案:平行
6.给出下列四个命题:
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交;
③若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;
④若三条直线两两相交,则这三条直线共面.
其中真命题的序号是________.
解析:①正确,因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点.②正确,a,b有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.③正确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上,所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面.④错误,这三
条直线可以交于同一点,但不在同一平面内.
答案:①②③
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1
的交点.求证:D1、H、O三点共线.
证明:如图,连接BD,B1D1,
则BD∩AC=O,
所以四边形BB1D1D为平行四边形, 又H∈B1D,
因为BB1綊DD1,
B1D?平面BB1D1D,
则H∈平面BB1D1D,
因为平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1, 所以H∈OD1.
即D1、H、O三点共线.
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8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求AC与A1D所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
解:(1)如图,连接B1C,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.
因为AB1=AC=B1C, 所以∠B1CA=60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1. 因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EF∥BD,所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
[综合题组练]
1.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β
的交线是( )
B.直线ABD.直线BC
A.直线ACC.直线CD解析:选C.由题意知,D∈l,l?β,所以D∈β,
又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又因为C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面β与平面ABC的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,|AB|=2|BB1|,则AB1与BC1所成角的大小为( )
πB.πD.
32A.C.
π
65π12解析:选D.将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接C1D,BD,则C1D∥B1A,∠BC1D为所
求角或其补角.设|BB1|=2,则|BC|=|CD|=2,
∠BCD=120°,|BD|=23,