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高考数学二轮复习微专题（文理通用）

多题一解之点线距离篇

【知识储备】

在解析几何中，曲线上任意一点到直线距离的问题、圆的切线的长度问题、一些与圆锥曲线有关的三角形、四边形面积的最值问题以及直线与圆的位置关系问题最终都可以转化为点线距离问题。因此把这些问题称为多题一解。

点线距离定义：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为：|AB|＝

?x2－x1?2＋?y2－y1?2。

|Ax0＋By0＋C|

。

A2＋B2

|C2－C1|。 A2＋B2

(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝

(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝注：在运用两平行直线间的距离公式d＝

式。 【走进高考】

【例】【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y?x?到直线x+y=0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4

【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y?x?小.由y??1?|C1－C2|

时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形

A2＋B2

4(x?0)上的一个动点，则点Px4相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最x4??1，得x?2(x??2舍)，y?32，即切点Q(2,32)，则切点Q到直线x+y=02x22的距离为2?321?1?4，故答案为4．

【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

【例】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(?2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率 之积为?

12.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交

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C于点G.

（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）

16. 9yy1x2y2???，化简得?【解析】（1）由题设得?1(|x|?2)，所以C为中心在坐标原点，焦x?2x?2242点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

?y?kx2?22x??（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．由?x得． y21?2k?1???42记u?21?2k2，则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0)．于是直线QG的斜率为

kk，方程为y?(x?u)． 22k?y?(x?u),??222222由?2得(2?k)x?2ukx?ku?8?0．① 2?x?y?1??4223u(3k?2)uk设G(xG,yG)，则?u和xG是方程①的解，故xG?，由此得yG?． 222?k2?kuk3?uk212?k??从而直线PG的斜率为．所以PQ?PG，即△PQG是直角三角形． 2u(3k?2)k?u2?k222ukk?1（ii）由（i）得|PQ|?2u1?k，|PG|?，所以△PQG的面积

22?k218(?k)18k(1?k2)1kS?|PQ‖PG|??t=k+．设，则由k>0得t≥2， 2(1?2k2)(2?k2)1?2(1?k)2kk当且仅当k=1时取等号．因为S?8t+∞）S取得最大值，在[2，单调递减，所以当t=2，即k=1时，21?2t最大值为

1616．因此，△PQG面积的最大值为． 99【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角

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形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.

【例】(2018全国卷Ⅲ)直线x?y?2?0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x?2)?y?2上，则?ABP面积的取值范围是 A．[2,6] 【答案】A

【解析】圆心(2,0)到直线的距离d?B．[4,8]

C．[2,32]

D．[22,32]

22|2?0?2|?22，所以点P到直线的距离d1?[2,32]．根据直2线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(?2,0)，B(0,?2)，所以|AB|?22，所以?ABP的面积

S?1因为d1?[2,32]，所以S?[2,6]，即?ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A． |AB|d1?2d1．

2??x??1??22【例】 (2018天津)已知圆x?y?2x?0的圆心为C，直线??y?3???两点，则△ABC的面积为 ． 【答案】

2t,2(为参数)与该圆相交于A，B

t2t21 222【解析】直线的普通方程为x?y?2?0，圆的标准方程为(x?1)?y?1，圆心为C(1,0)，半径为1，点

C到直线x?y?2?0的距离d?121|1?0?2|22?．所以|AB|?21?()2?2，所以S?ABC??2? ?，222222【例】(2018北京)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos?,sin?)到直线x?my?2?0的距离，当?，m变化时，d的最大值为 A．1 【答案】C

【解析】由题意可得d?

B．2 C．3

D．4

|cos??msin??2|m?12?|msin??cos??2|m?12

|m2?1(?mm?12sin??m?121m?12cos?)?2|?|m2?1sin(???)?2|m?12 3