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第十四届华罗庚少年数学邀请决赛试题C参考答案（小学）

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题

C参考答案（小学组）

一、填空题（每小题10分，共80分） 题号 答案 1 2 8 3 2 4 10201 5 37 6 222 7 33 8 37 1 6二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9、答案：在1和2之间； 解答：

111111????? 23571113111111311313311546?（??）?（??）???3??????2

2357111330730730303010、答案：10月份的第一天是星期四，3、5、8、11月有五个星期日。 解答：下表列出各个月的1号的相关信息：

月份 1号距1月号的31 天数 除以7的余数 1号的星期数 3 日 3 日 6 三 1 五 4 一 6 三 2 六 5 二 0 四 3 日 5 二 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四， 3月1号是星期四，3月份有31天，所以3月有5个星期日； 5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日； 8月2号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日； 11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日； 11、答案：540，或108。

解答：如果b不是22的倍数，因为?a,b?=22×3×5，则a一定是22的倍数，由此可知?a，b?一定是22的倍数，但是?a,c?=2×3×5不是22的倍数，所以b是22的倍数，同理可得c是3的

33倍数，所以?b,c?应被22.3整除。

3因为?a,b?=60，?a,c?=270,所以60是b的倍数，270是c的倍数， 所以b，c的最小公倍数?b,c?是?60，270?的约数。

第十四届华罗庚少年数学邀请决赛试题C参考答案（小学）

因为?60，270?=22.3.5,

3所以?b,c?=22.3.5=540，或?b,c?=22.3=108.

33当a=1，b=60，c=270时，?a,c?=60，?a,c?=270，?b,c??=540； 当a=5，b=12，c=54时，?a,c?=60，?a,c?=270，?b,c??108； 12、答案：100

解答：面积是1的等边三角形有32个，面积是4的等边三角形有18个，面积是9的等边三角形有8个，面积是16的等边三角形有2个；

利用对称的性质，如图1，红色等边三角形的面积是由6个面积是1的等边三角形组成的正六边形面积的一半，等于3，面积是3的等边形角形共有9×2=18个；

a b c d e题图13

利用对称的性质，如图2和图3所示，蓝边等边三角形的面积是：边三角形有2×4×2=16个；

利用对称性的性质，如图4，黄色等边三角形的面积是难道正三角形的面积为

1×4×3+1=7,面积是7的等21×24=12的有2个。如图5所示，灰色21×6×3+4=13，面积为13的正三角形共有4个。 2因此，可以连成的等边三角形总计有32+18+8+2+18+16+2+4=100（个） 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13、答案：

9 16解答：设三角形OCD的面积为x,梯形的高为h，则

1（???CD）h =4 2 因为AB=5,CD=3,所以h=1，

13CD?h? 2233 所以S?OBC=-S?OCD，即S?OBC=-x ①

225 同理可得S?OAB=?S?OBC?1?x ②

2 因为S?OCD+S?OBC=S?BCD=

第十四届华罗庚少年数学邀请决赛试题C参考答案（小学）

因为S?OAD?S?OCD?S?OBC?S?OCD,所以S?OBC?S?OAD ③ 由三角形面积公式得

SΔOABAOSΔOADSΔOABSΔOAD???,即。 SΔOBCOCSΔOCDSΔOBCSΔOCD3232所以SΔOAB?SΔOCD?SΔOBC?SΔOAD ④ 由①，②，③，④可得(x?1)?x?(?x)?(?x)

99，即SΔOCD?。 16169所以三角形OCD的面积为。

16所以x?14．答案：159

解答：因为48能被3整除，所以“第十四届”所表示的数能被3整除，即“第十四届”的四个数字之和能被3整除。

又因为1?2?3??9?45能被3整除，所以“华杯赛”表示的数的数字之和也能被3整除，

即“华杯赛”表示的数能被3整除

因为48能被4整除，而且“祝”字是4，“贺”字是8，所以“届”为偶数，只能取2或6。 又“祝贺”与“华杯赛”的乘积为四位数，所以“华”字代表的数字只能是1。否则，即使“华杯赛”取最小的三位数213， 48?213?10224是五位数，取其他的三位数就更不符合要求。

⑴当“届”取数字“2”时，则“赛”字只能是9，此时，算式是：48?1杯9?第十四2 因为余下的4个数字3，5，6，7中，只有5与10的和能被3整除，所以“杯”字只能取5。 此时可得，48?159?7632，符合题目要求。

⑵当“届”取数字“6”时，则“赛”字取数字“2”或“7”。 ① 若“赛”取数字“2”时，此时的算式是48?1杯2?第十四6。

因为3与3，5，7，9的和分别为6，8，10，12，所以“杯”字可以取数字“3”或“9”。 但是48?132?6336，48?192?9216显然不符合要求。 ② 若“赛”取数字“7”时，算式是48?1杯7?第十四6。

因为8与2，3，5，9的和分别为10，11，13，17，均不能被3整除，所以不存在“1杯7”使得等式48?1杯7?第十四6成立。 所以“华杯赛”所代表的整数为159。