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18．1 平行四边形

18．1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边和角的性质

第十八章 平行四边形

知识点 1 平行四边形的有关概念

1．我们知道，两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．如图18－1－1，点D，E，F分别在△ABC的三边BC，AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，则图中共有________个平行四边形，分别是__________________________．

图18－1－1

图18－1－2

2．[2016·河池] 如图18－1－2，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED＝150°，则∠A的度数为( )

A．150° B．130° C．120° D．100°

图18－1－3

3．如图18－1－3，?ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形有( ) A．12个 B．9个 C．7个 D．5个

知识点 2 平行四边形边的性质

4．若平行四边形的周长为24 cm，相邻两边的长度之比为1∶2，则较短的边长为( ) A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm

图18－1－4

5．如图18－1－4，在?ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC＝________．

6．2017·乌鲁木齐如图18－1－5，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF＝ED，求证：AE∥CF.

图18－1－5

知识点 3 平行四边形角的性质

7．如图18－1－6，在平行四边形ABCD中，CE垂直于AB，∠D＝53°，则∠BCE的度数是( ) A．53° B．43° C．47° D．37°

图18－1－6

图18－1－7

8．2017·武汉如图18－1－7，在?ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________．

9．如图18－1－8，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DAE＝25°，求∠C，∠B的度数．

图18－1－8

知识点 4 两条平行线之间的距离

10．如图18－1－9，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( ) A．AB＝CD B．EC＝FG

C．A，B两点的距离就是线段AB的长度 D．a与b的距离就是线段CD的长度

图18－1－9

写出图中面积相等的三角形：___________________.

图18－1－10

11．如图18－1－10，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，

12．如图18－1－11，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )

A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF C．AD＝2BF D．BE＝2CF

图18－1－11

图18－1－12

13．如图18－1－12，?ABCD的CD边上有一点E，连接AE，BE，∠DAE＝12°，∠AEB＝33°，则∠EBC的度数是( )

A．18° B．21° C．33° D．45°

14．如图18－1－13，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )

A．7 B．10 C．11 D．12

图18－1－13

图18－1－14

15．如图18－1－14，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是________．

图18－1－15

16．如图18－1－15，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在点D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________°.

17．2017·大连如图18－1－16，在?ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.

图18－1－16

18．如图18－1－17，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△BFE；

(2)若DF平分∠ADC，连接CE.试判断CE与DF的位置关系，并说明理由．

图18－1－17

详解详析

1．平行 3 ?AFDE，?BDEF，?CDFE

2．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE. ∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE.

∵∠BED＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝30°， ∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝120°.

3．B [解析] 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，设EF和HN的交点为O，则四边形AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．

4．B [解析] 设相邻两边的长分别为x cm和2x cm.因为平行四边形的对边相等，所以2(x＋2x)＝24，解得x＝4，所以较短的边长为4 cm.

5．2 [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠AEB＝∠DAE.

∵平行四边形ABCD的周长是16，

∴AB＋BC＝8.∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝3，

∴BC＝5，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.

6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，

∴∠ADE＝∠CBF，又∵ED＝BF，∴△AED≌△CFB(SAS)，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF. 7．D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D.

∵∠D＝53°，∴∠B＝53°. 又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°， 由三角形的内角和定理得 ∠BCE＝180°－∠B－∠BEC ＝180°－53°－90° ＝37°，

∴∠BCE的度数是37°.故选D.

8．30° [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD， ∴∠BAD＝180°－∠D＝80°.

∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝80°÷2＝40°. ∵AE＝AB，∴∠ABE＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°.

9．解：∵∠BAD的平分线AE交DC于点E，∠DAE＝25°，∴∠BAD＝50°，∴在平行四边形ABCD中，∠C＝∠BAD＝50°，∠B＝180°－∠C＝130°.

10．D [解析] ∵a∥b，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AB＝CD.又∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG，∴四边形FCEG是平行四边形，∴EC＝FG.两点间的距离就是连接这两点的线段的长度，C正确．故选D.

11．S△ABC＝S△ABD，S△CDA＝S△CDB，S△CAE＝S△DBE

[解析] 根据同底等高的三角形面积相等，得S△ABC＝S△ABD，S△CDA＝S△CDB. 因为S△ABC＝S△ABD，

所以S△ABC－S△AEB＝S△ABD－S△AEB， 即S△CAE＝S△DBE.

12．[全品导学号：85034085]D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠E＝∠CDF，故A项成立；∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥BE，∴∠C＝∠CBE.∵BE＝AB，∴CD＝BE.在△CDF和

∠C＝∠CBE，

?

△BEF中，?∠CFD＝∠BFE，∴△DCF≌△EBF(AAS)，∴EF＝DF，故B项成立；∵△DCF≌△EBF，∴CF＝BF

?CD＝BE，

1

＝BC.∵AD＝BC，∴AD＝2BF，故C项成立；∵AD与BE不一定相等，∴2CF与BE不一定相等，故D项不成立．故2选D.