2018江苏奥数夏令营——平面几何(教师版)2018年6月25日 下载本文

内容发布更新时间 : 2025/3/15 6:30:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2018年奥数夏令营讲义

——平面几何

目 录

一、等差幂线定理 ........................................................................................................................................ 2 二、共边比例定理、分角张角 ..................................................................................................................... 8

2.1 共边比例定理................................................................................................................................ 8 2.2 分角定理 ..................................................................................................................................... 11 2.3 张角定理 ..................................................................................................................................... 13 三、Menelaus、Ceva、Pascal定理 ............................................................................................................ 16

3.1 梅涅劳斯(Menelaus)定理 ...................................................................................................... 16 3.2 赛瓦(Ceva)定理 ........................................................................................................................ 20 3.3 Pascal定理 .................................................................................................................................. 24 四、三角形五心 .......................................................................................................................................... 29

4.1 三角形的内心.............................................................................................................................. 29 4.2 三角形的外心.............................................................................................................................. 32 4.3 三角形的重心.............................................................................................................................. 35 4.4 三角形的垂心.............................................................................................................................. 39 4.5 三角形的旁心.............................................................................................................................. 43 五、等角共轭 .............................................................................................................................................. 50

5.1 等角共轭 ..................................................................................................................................... 50 5.2 等角共轭点.................................................................................................................................. 51 六、Simson 定理 、托勒密、三弦定理 ................................................................................................... 63

6.1 Simson 定理................................................................................................................................ 63 6.2 Ptolemy 定理 .............................................................................................................................. 66 6.3 三弦定理 ..................................................................................................................................... 71 七、Stewart 定理 ........................................................................................................................................ 74 八、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆 ............................................................................................................... 79 九、圆幂定理、根轴、根心....................................................................................................................... 87 十、内外角平分线定理、线段的“分割比”、阿波罗尼斯圆 ................................................................. 104 十一、调和点列、线束............................................................................................................................. 109 十二、顾冬华20题 .................................................................................................................................. 118

注:第81题、第104题、第124题为同一题,分别由三位老师提供,诠释角度不同,故仍然顺应内容重复编排在内,方便备课.

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一、等差幂线定理

1. 如图,点P为△ABC内部一点,PL、PM、PN分别垂直于BC、CA、AB,且AM?AN,

BN?BL.

求证:CL?CM.

NAMPBCL

【证明】由定差幂线定理 PN?AB?PA2?PB2?NA2?NB2; PL?BC?PB2?PC2?LB2?LC2;

PM?CA?PC2?PA2?MC2?MA2.

上述三式相加,结合AM?AN及BN?BL,得CL?CM.

2. A在正方形对角线上一点(不与

D重合),A P . 求证:

D F

PFBECB

E C

【证明】

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