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22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

0)且与y轴交于负半轴．

(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；

(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．

解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－＞0，又a2a

＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由

b1．会画二次函数y＝ax＋bx＋c的图

象．

2

2．熟记二次函数y＝ax＋bx＋c的顶点

ba＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－＜坐标与对称轴公式． 2a2

3．用配方法求二次函数y＝ax＋bx＋c1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在的顶点坐标与对称轴． 抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝

0 ，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1； 由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)

问中正确的结论是②③④.

方法总结：观察抛物线的位置确定符号

一、情境导入 的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定

a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符

火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)

2

与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？

二、合作探究

2

探究点一：二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质

【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判 号．顶点在第一、四象限，－

2

b＞0，由此2ab得a、b异号；顶点在第二、三象限，－＜

2a0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．

2

【类型二】二次函数y＝ax＋bx＋c的性质 (2014·广西南宁)如图，已知二次函数y＝－x＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )

2

2

如图，二次函数y＝ax＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，

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A．a＞1

B．－1＜a≤1

C．a＞0

D．－1＜a＜2

解析：抛物线的对称轴为直线x＝－2

＝1，∵函数图象开口向下，在

2×（－1）

对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1

方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．

【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别 (2014·贵州遵义)已知抛物线y＝ax＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )

2

解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax＋bx的开口向上，对称轴x＝－

2a＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－＜0，∴选项B，C错．故选择D.

2a方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．

2

【类型四】抛物线y＝ax＋bx＋c的平移 (2014·浙江丽水)在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x＋4x－3的图象

2

2

向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )

A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4)

2

解析：二次函数y＝2x＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝

22

2(x＋1)－5，将抛物线y＝2(x＋1)－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝

22

2(x＋1－2)－5＝2(x－1)－5，再将抛物线

2

y＝2(x－1)－5向下平移1个单位所得抛物

2

线的解析式为y＝2(x－1)－5－1＝2(x－2

1)－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C.

方法总结：二次函数的平移规律：将抛

2

物线y＝ax(a≠0)向上平移k(k>0)个单位

2

所得的函数关系式为y＝ax＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系

2

式为y＝a(x＋h)；向右平移h(h>0)个单位

2

所得函数关系式为y＝a(x－h)；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．

【类型五】二次函数的图象与几何图形的综合应用 b

12

如图，已知二次函数y＝－x＋

2

bbx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y??－2＋2b＋c＝0，12

＝－x＋bx＋c得：?解得

2?c＝－6，???b＝4，?∴这个二次函数的解析式为?c＝－6.?

y＝－

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12

x＋4x－6. 2

(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝－41

2×（－）2

＝4，∴点C的坐标为(4，0)．∴AC1

＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝

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×2×6＝6. 2

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.

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