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专题5 数列求和和递推数列-

【目标要求】

学习目标 目标解读 求和是数列问题中考查的一个重要方面，而且常与不等式、函数等其他知识综合考查，求和首先掌握等差、等比数列求和公式。 2 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 此类问题的解答离不开通性通法，只要掌握了数列求和的基本方法，善于观察，合理变形，正确求解就不难. 考情链接

考点 考法 数列的通项公式和求和 数列的求和 数列的通项公式 命题角度 在客观题解答题考查数列的通项公式，常见方法是累加难度 较小 1 熟练掌握等差、等比数列的求和公式； 法、累乘法、待定系数法以及利用an和Sn的关系求解等。 考查数列求和的常见方法：裂项求和、分组求和、错位相减法以及公式法等。 中等 【核心知识点】

1. 公式法：（1）直接应用等差、等比数列的求和公式； （2）掌握一些常见的数列的前n项和：1?2?3?……+n=n(n?1)2，1+3+5+……+=n 22.倒序相加法：如果一个数列?an?，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n项和就是此法推导的。

3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如 等比 数列的前n项和就是用此法推导的.

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的拆项公式有：

111111)，? (??(n?k?n)，

knn?kn(n?k)n?k?nk1111?)，等. ?((2n?1)(2n?1)22n?12n?15、分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如：

?{an}是等差数列（1）{an?bn}，其中?；

{b}是等比数列?n（2）an＝??f(n),n?2k?1?g(n),n?2k,k?N?.

【活动思考，阅读拓展】

如何正确的作到数列求和？

①裂项求和：如果数列的通项公式可转化为f（n＋1）－f（n）的形式，可尝试采用此法。使用此法时必须注意有哪些项被消去，哪些项被保留。

②错项相消法：适用于求差比数列{an}的前n项和，其中an?bn?cn，{bn}为等差数列，{cn}为等比数列。 ③并项求和：即通过对通项结构特点的分析研究，将数列分解、转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求和的一种方法。

④倒序相加法求和：若一个数列和的各项系数是“首尾”对称的，则可采用此法。

如：求和1?1111?????,(n?N*)。 1?21?2?31?2?3?41?2?3???n首先研究最后一项的通项公式，有利于问题的解决?ak?12?

1?2???kk(k?1)显然可以利用裂项求和法求解，即

211?2(?)

k(k?1)kk?1 ?Sn?2[111????] 1?22?3n(n?1)??1??11?2??23?1??1?2n?1 ??2?1????nn?1??n?1?n?1 ?2[?1???????????

(2018·广东肇庆理科二模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－1＋2an. (1)求{an}的通项公式；

111

(2)若bn＝log2an＋1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求＋＋…＋.

T1T2Tn【解析】(1)由已知，得Sn＝－1＋2an.①

（2018山东菏泽高三理科一模）已知数列{an}的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且数列数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

是公差为2的等差