内容发布更新时间 : 2025/1/11 23:03:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第四章 圆 与 方 程

★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }

★2、圆的方程

（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心?a,b?，半径为r；

22222 点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系：

当(x0?a)2?(y0?b)2>r，点在圆外; 当(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上 当(x0?a)2?(y0?b)2

2222DE?，半径为r?1 当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为??,???222??22222D2?E2?4F

当D?E?4F?0时，表示一个点；

当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：

?待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

?直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

2222另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为

d?Aa?Bb?CA?B22，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交 （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，

①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；

②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）

(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为

2(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r 两圆的位置关系 判断条件 公切线条数

外离 外切 相交 内切 内含 ｄ＞ｒ1+ｒ2 ｄ＝ｒ1+ｒ2 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| ｄ＜|ｒ1-ｒ2| 4条 3条 2条 1条 0条 学习必备 欢迎下载

★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

222222设圆C1:?x?a1???y?b1??r，C2:?x?a2???y?b2??R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法） 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 ★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程

① 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程； ② 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；

③ 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）

★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度

①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长 ②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）

③代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ： |ＡＢ|＝1?k2?|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝1?1?|y1-y2|）求解

k2★7、已知两圆相交，求公共弦的长度

①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长 ②代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A、B）；公共弦直线方程 与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ： |ＡＢ|＝1?k2?|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝1?1?|y1-y2|）求解

k2③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）

④几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）

★8、圆系与圆系方程

(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 (2) 圆系方程：

（一）.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0

圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1) -- （Ⅰ） ①若圆 C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P2两点的圆的方程。

②若圆 C1与圆C2交于Ｐ点（一个点），则方程（Ⅰ）代表与圆Ｃ1 、圆Ｃ2相切于Ｐ点的圆的方程。

（二）.直线ｌ：Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝0与圆Ｃ：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切 则过它们的交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ）＝0

★9、直线与圆的方程的应用

用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论

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轴对称

例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。

y 解：如图，

kl?3， ，

(0,4)BPCA(4,1)oP'x设点C(x,y)是点B关于直线L对称点，则由

1得：kBC??

31方程为：y??x?4，将其与直线y=3x-1联立，

3∴直线BC的

?37?解得：D?,?,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。

22??显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：2x?y?9?0，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。 例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过

点A(4,1)，求反射光线方程。

解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。

3由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），故直线AB的方程易求得为：y??x?4。

4它即为反射光线方程。

直线和圆

1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆x2?y2?4x?4y?7?0相切，求光线L所在直线方程．

解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。

设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。

由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即d?|5k?5|1?k2 ?1．

34整理得12k2?25k?12?0, 解得k??或k??．故所求的直线方程是

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