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一． 2019-2020年中考数学 正方形的性质与判定分类解析 苏教版

（2011山东滨州，12，3分）如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片

沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【思路分析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝

1BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，2AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则①成立．如图(2)，把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，则③成立．如图(3)，移动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则②成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则④不成立．

【方法规律】在拼合时，可以把所有情况列举出来，再挑出符合条件的情况． 【易错点分析】

【关键词】三角形的中位线，直角三角形的性质，矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定 （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 【答案】B

【思路分析】本题考查的判断命题真假，选项A的对角线互相平分；选项B对角线相等且互相垂直平分；选项C的对角线相等；选项D的对角线相等．所以答案为B．

【方法规律】本题考查了平行四边形、正方形、等腰梯形、矩形的性质，需要学生对这些图形的性质熟练掌握．

【易错点分析】没记清平行四边形、正方形、等腰梯形、矩形的性质，导致错误． 【关键词】平行四边形、正方形、等腰梯形、矩形的性质． 【推荐指数】★★☆☆☆☆ 【题型】易错题

如图将边长为2的正方形与原正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，的新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是

C.等腰梯形 D.矩形

A. 2 B.C. 1 D.

1 21 4（第9题）

【答案】

【思路分析】因为AC=的面积为

11AB2?BC2?(2)2?(2)2?2,所以AC=A′C=×2=1,所以阴影部分

2211×1×1=. 22【方法规律】平移不改变图形的大小与形状，平移前后图形是全等形，对应边相等，对应角相等，正

方形是特殊的菱形，可以运用菱形的面积公式计算正方形的面积.

【易错点分析】审题不准确，错把2作为正方形的对角线的长. 【关键词】平移，正方形.勾股定理. （2011四川宜宾，8，3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，

设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）

第8题图

【答案】B

【思路分析】先探究y与x的函数关系：当点P在CD上（4?x?8）时，A、P、D三点能组成三角

1?4?(x?4)?2(x?4)；当点P在BC上（8?x?12）时，A、P、D三点能组成三21角形，且其面积y??4?4?8；当点P在AB上（12?x?16）时，A、P、D三点能组成三角形，且其

2?2(x?4)(4?x?8)，1?8(8?x?12)，然后在直角坐标系中依次作出三个面积y??4?(16?x)?2(16?x).即y??2?2(16?x)(12?x?16).?形，且其面积y?函数的图像，可得答案为B.

【方法规律】要确定函数图像，应先探究其函数解析式；搞清动点P运动的路线及字母x、y的含义，是解答本题的关键.

【易错点分析】作为解答题时，当点P在AB上时，因不能确定x的取值范围，而导致解题不完整. 【关键词】一次函数的实际应用，分段函数，动点问题. 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】新题，好题，难题.

0

（2011遵义，10，3分）如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90）,放置边长分别3,4,x的三个正方形，则x

的值为

A. 5 B. 6 C. 7 D. 12

【答案】C

【思路分析】由于该图中出现三个正方形和本身是直角三角形，所以很容易发现里面所有的直角三角

DFEF形都是相似的，为此要求x的长，可考虑用相似来求，如下图，易得△DEF∽△IGH，所以，即?IHGHx?33，解得x=7 ?4x?4CDEA3xGIH4F

【方法规律】想法把所求的线段和已知线段通过某种关系先联系起来，然后再进行求解

【易错点分析】没有正确找对相似三角形，用了△CDG，以致无法同时用到两条边3和4，还有就是找出相似三角形后写出的比例式中线段没有对应，从而导致最终计算错误 【关键词】相似三角形 【推荐指数】★★★★☆ 【题型】常规题 好题 压轴题

二．填空题

三．解答题

（2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求

BEF的值． EG

图1 图2 图3 （1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，

∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1分） 又∵ED＝BE，

∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2分） ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3分）

(2)成立．……………………………………………………………………（ 4分） 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

则EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5分） ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，

∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6分） ∴Rt△FEI≌Rt△GEH,

∴EF＝EG．………………………………………………………（7分）

(3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，

则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8分）

EMCEEN＝＝， ABCAADEMABa ∴＝＝, …………………………………………（9分）

ENADb ∴

∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，

∴∠FEN＝∠GEM，

∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10分）

∴

EFENb＝＝．…………………………………………（11分） EGEMa

【思路分析】（1）欲证EF=EG,只需证明△EDF≌△EBG；（2）过E作EI⊥CD,EH⊥BC，证明△EHG≌△EIF；（3）过E作EN⊥CD,EM⊥BC,证明△FEN∽△GEM,找出EM与EN的比值，

EF即可所求. EG【方法规律】本题综合考查了正方形的性质，三角形全等，相似等知识，欲证明线段相等，只需构造三角形全等，欲求线段的比值只需构造三角形相似.

【易错点分析】第（3）问能想到用相似知识去解决，但是找不到各条线段之间的关系.

【关键词】正方形、三角形，图形的旋转，三角形全等、相似【难度】★★★★★ 【题型】操作题，综合题，好题

（2011河北，23，9分）如图12，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，

且CE=BK=AG.

(1)求证：①DE=EG;

②DE⊥EG；

（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （4）当

SCE1?时，请直接写出正方形ABCD的值. CBnS正方形DEFGGAKB图12DEC

【解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG. （2）如图

(3)四边形CEFK为平行四边形。

证明：设CK,DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。 （4）

S正方形ABCDS正方形DEFGS正方形ABCDn2n2BCn2?=2（设CE=1，则CB=n，DE=n?1，∴，∴=2）

2DEn?1n?1Sn?1正方形DEFG【思路分析】（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；

（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG； （3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形； （4）求

的值，由于正方形ABCD和正方形DEFG一定相似，只要知道他们的边长之比，即可求

面积之比．

【方法规律】本题考查的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及尺规作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证明三角形全等得出相应结论。

【易错点分析】在证明四边形CEFK是什么四边形时，可以很容易的判断是平行四边形，但证明过程中缺少证明条件，说明学生对平行四边形的判定不清楚，

【关键词】正方形、全等三角形、尺规作图 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】新题，好题，作图题 、 （2011河南，15，23分）如图，在平面直角坐标系中，直线y?331x?与抛物线y??x2?bx?c交424于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.

（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，．．交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值； ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．