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3315x?，当y＝0，x＝2.当x＝－8时，y＝－. 42215∴A点坐标为（2，0），B点坐标为(?8,?).

21由抛物线y??x2?bx?c经过A、B两点，得

4?0??1?2b?c,35135?解得b??，c?.?y??x2?x?. ?15???16?8b?c.42442??233（2）①设直线y?x?与y轴交于点M．

4233当x＝0时，y＝?. ∴OM＝.

22522∵点A的坐标为（2，0），∴OA＝2.∴AM＝OA?OM?.

2【中考权威答案】（1）对于y?∵OM∶OA∶AM＝3∶4∶5.

由题意得，∠PDE＝∠OMA，∠AOM＝∠PED＝90°，∴△AOM～△PED. ∴DE∶PE∶PD＝3∶4∶5．

∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点， ∴PD＝yP－yD

13533?(?x2?x?)?(x?)

44242123＝?x?x?4

4412123∴l?(?x?x?4)

54231848??x2?x?.

5553?l??x(x?3)2?15.?x??3时，l最大?15.

5?3?17?3?17?7?89?7?89(,2),P(,2),P(,). ②满足题意的点P有三个，分别是P1232222

?3?171235当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC＝AO＝2，即?x?x??2，解得x?，

2442?3?17?3?89(,2),P(,2). 所以P1222

?7?89?7?89,)， 22?7?89?7?89P4(,)（舍去）.

2212【思路分析】（1）要确定抛物线解析式y??x?bx?c，只需求出b、c的值，需因此要抛物线上

4当点F落在y轴上时，同法可得P3(两点坐标，可更加A、B在直线AB上求出A、B两点的坐标，然后代入抛物线解析式；（2）①不管点P的位置如何变化，△PDE的形状始终不变，DE∶PE∶PD＝3∶4∶5，因此只需表示出PD的长，即可表示出△PDE的周长，然后根据二次函数的性质求出最大值；②正方形的位置是否发生变化取决于线段AP的大小和位置是否发生变化．

【方法规律】解决问题（2）时要抓住三角形的形状不变的特征来解决问题，求最大值常用函数的最大值来解决问题的．

【易错点分析】在问题（3）中求点P的时候，不能抓住三角形全等这一条件解决问题． 【关键词】抛物线，极值，全等，相似 【推荐指数】★★★★★ 【题型】好题，难题，压轴题

（2011陕西省，18，6分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别

作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F两点．求证：△ADF≌△BAE．

【解】∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°．又∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°．∴∠2=∠3，∠1=∠4． ∴△ADF≌△BAE．

【思路分析】由正方形ABCD知DA=AB，这时只要另外寻找两组角对应相等就可以证明△ADF≌△BAE．根据同角的余角相等可得∠2=∠3，∠1=∠4．问题得到解决．

【方法规律】证明两个三角形全等，一般需要三个条件，要结合已知条件去寻找． 【易错点分析】没有找准对应角． 【关键词】正方形，全等三角形 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题．

（2011湖北襄阳，25，10分)

如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当

AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. ABDCFAPBE图9

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° ······ 1分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°

∴∠ADP＝∠EPB. ······················ 2分 （2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° ·· 3分

DC

FAPBEG又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP

∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG ············ 4分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. ··················· 5分 （3）方法一：

当

AP1?时，△PFE∽△BFP. ················ 6分 AB212AP1?a ······ 8分 AD4

∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF········· 7分 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝a，∴BF＝BP·∴PD?AD2?AP2?∴

55a，PF?PB2?BF2?a 24PBBF5 ······················ 9分 ??PDPF5又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP ·········· 10分 方法二：

假设△ADP∽△BFP，则

PBBF?. ·············· 6分 PDPF∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ········ 7分

PDAP?， ······················ 8分 PFBFPBAP?∴， ······················· 9分 BFBFAP1?时，△PFE∽△BFP.········· 10分 ∴PB＝AP， ∴当

AB2∴

【思路分析】

（1）由旋转角等于90°得∠DPE＝90°，由正方形ABCD的四个角都是直角得∠A＝90°，根据“同角的余角相等”可证得∠ADP＝∠EPB；

（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，巧妙地构造全等三角形，利用线段的和差关系得到AP＝EG＝BG是解题的关键；

（3）本题属于条件开放型问题，一般有两种解答方式，一是先提出所求问题的结论（即

AP的值. ABAP的值），AB以此为条件，经过推理，说明结论△PFD∽△BFP成立；二是先假定△PFD∽△BFP已经成立，在此基础上逆推出

【方法规律】解答（1）、（2）两问时应注意充分挖掘题目的已知条件，如旋转的性质、正方形的性质等；解答（3）问时应注意解答方式 ，在演算时先假定△PFD∽△BFP已经成立，在此基础上逆推出值，然后组织好解答过程.

【易错点分析】第（2）问不能正确的添加辅助线；第（3）问不知道从何处找到切入点. 【关键词】旋转 正方形 相似三角形 【难度】★★★★☆

AP的AB【题型】好题 新题

易错题