内容发布更新时间 : 2024/7/6 9:09:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

江苏师范大学数学教育专业

《常微分方程》练习测试题库参考答案

一、判断说明题

1、在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。

xx2、因p(x)连续，y(x)= y0exp(-p(x)dx)在p(x)连续的区间有意义，而exp(-p(x)dx)＞0。

x0x0??如果y0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)?0,故零解y(x)=0唯一。

3、

（1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g为已知函数，y为一元函数，所建

立的等式是已知关系式。

（2） 它是常微分方程，理由同上。

（3） 它不是常 微分方程，因y是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是

已知关系式。

4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。 5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

6、 y＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。

7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。

8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y＝f(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q?0则

`m`dyp(x,y)? f(x,y)，＝－由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故

dxq(x,y)y＝f(x,y)为齐次方程。

9、 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得

`dydz=x＋z dxdx 10

、

二、计算题

1、方程变形为

dy?2x?4y?6=，它的分子，分母两条直线交点为（1,2） dxx?y?2作变换??x?u?1dv?2u?4v，于是得到＝，它已经是齐次方程。

duu?vy?v?2?dydzdz＝1＋，于是=1+f(z),

dxdxdx2、令z=x+y+1,则

只要＋f(z)?0,可分离变量得 x=

dz?1?f(z)+C

3、p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得 y=exp(sinx) 4、用线性方程通解公式：

222y=exp(-2xdx)(C+2xdx)dx)=exp(-x)(C+2exp (-x))=2+Cexp(-x)

??5、公式求得方程通解 y(x)=exp(2x) (C+

? xexp(2x) exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+

213x) 3利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=

13x exp(2x) 36、x 看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为

dx＝x+y dy以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为

x=exp(dy)(c+yexp(?y)dy)=cexp(y)-y-1

??dxy 27、解：将方程变形为xydy=(y-1)dx或＝2，当xy?0,y?1时积分得

y-1x221x2＋y+lny?1+=c

x28、解： 这是齐次方程。令y=zx原方程化为

dx11?u2

－3du=两边积分得 －ln|z|=ln|cx| 2x2zu

用z=

y代入得 x1x2y=exp(2) c2yy=0也是原方程的解。

9、解：. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x0 , y0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为

dv2v?u2?zdu＝，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得2dz=,积分得du2u?vuz?1z?1＝C 33(z?1)u原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3+3 10、解 当y?0时，分离变量得

dyx?dx 2y1?x1ln(1?x2)?lnC 2等式两端积分得 lny? 即通解为

y?C1?x2

11、解 齐次方程的通解为

y?Ce?3x 令非齐次方程的特解为 y?C(x)e?3x

1 代入原方程，确定出 C(x)?e5x?C

5 原方程的通解为