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专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题
(对应学生用书第103页)
(限时：40分钟)
题型1 圆锥曲线中的定值问题 题型2 圆锥曲线中的最值，范围问题 题型3 圆锥曲线中的探索性问题 3 1,4 2 1．(2017·河南洛阳二模)已知动圆M过定点E(2,0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
→→
(2)设A，B是轨迹C上的两点，且OA·OB＝－4，F(1,0)，记S＝S△OFA＋S△OAB，求S的最小值.
【导学号：07804096】
[解] (1)设M(x，y)，PQ的中点为N，连接MN(图略)， 则|PN|＝2，MN⊥PQ， ∴|MN|＋|PN|＝|PM|. 又|PM|＝|EM|， ∴|MN|＋|PN|＝|EM|，
∴x＋4＝(x－2)＋y，整理得y＝4x. ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y＝4x.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?y1??y2?(2)设A?，y1?，B?，y2?，不妨令y1＞0， ?4??4?
11
则S△OFA＝·|OF|·y1＝y1，
22→→
∵OA·OB＝－4， ∴x1x2＋y1y2＝
2y21y2
22
16
＋y1y2＝－4，
解得y1y2＝－8， ①
当y1＝－y2时，AB⊥x轴，A(2,22)，B(2，－22)，
S△AOB＝42，S△OFA＝2，S＝52.
x－
4y－y1
当y1≠－y2时，直线AB的方程为＝22，
y2－y1y2y1
4－4
y21
即y－y1＝
?y1?4?x－??4?
y1＋y2
2
，令y＝0，得x＝2，
∴直线AB恒过定点(2,0)，设定点为E， 1
∴S△OAB＝|OE|·|y1－y2|＝y1－y2，
28
由①可得S△OAB＝y1＋，
y1
8?1?∴S＝S△OFA＋S△OAB＝y1＋?y1＋? y1?2?38
＝y1＋≥212 2y1
3843??＝43?当且仅当y1＝，即y1＝时，取等号?.
2y13??综上，Smin＝43.
x2y2
2．(2017·陕西教学质量检测)已知F1，F2为椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点
abP?1，?在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4.
2
??
3?
?
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，11使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
|AC||BD|
【导学号：07804097】
[解] (1)∵|PF1|＋|PF2|＝4， ∴2a＝4，a＝2.
x2y2
∴椭圆E：＋2＝1.
4b?3?2
将P?1，?代入可得b＝3，
?2?
∴椭圆E的方程为＋＝1.
43
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，
1117＋＝＋＝； |AC||BD|34121
x2y2
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)， 代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k)x＋8kx＋4k－12＝0.
43设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
8k4k－12
则x1＋x2＝－2，x1·x2＝2.
3＋4k3＋4k|AC|＝1＋k|x1－x2|
x2y2
2222
22
2
2
＝＋k2x1＋x2
2－4x1x2]＝
＋k2
3＋4k2
.
1
∵直线BD的斜率为－，
k∴|BD|＝
2??
?1??12??1＋?－k??????
2
＝＋k23k＋4
2
.
?1?3＋4?－??k?
3＋4k＋2
＋k2
∴
＋＝|AC||BD|
11
3k＋47
＝. 2
＋k12
2
117
综上，2λ＝＋＝，
|AC||BD|127
∴λ＝.
24
711
故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．
24|AC||BD|
3．(2017·长沙模拟)如图13-4，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Г过定点B(1,0)，
直线l是圆Г在点B处的切线，过A(－1,0)作圆Г的两条切线分别与l交于E，F两点．
图13-4
(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；
(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|. [解] (1)设AE切圆Г于点M，直线x＝4与x轴的交点为N， 故|EM|＝|EB|.
从而|EA|＋|EB|＝|AM|＝|AP|－|PM|＝|AP|－|PB|＝|AN|－|BN|＝25－9＝4.
所以|EA|＋|EB|为定值4.
(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4， 故E，F均在椭圆＋＝1上． 43
222222
x2y2
3
设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)． 33
令x＝4，求得y＝，即Q点纵坐标yQ＝.
mmx＝my＋1??22由?xy＋＝1??43
得，(3m＋4)y＋6my－9＝0.
22
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
6m9
则有y1＋y2＝－2，y1y2＝－2.
3m＋43m＋4因为E，B，F，Q在同一条直线上，
所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)， 33
即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，
mm3
等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.
m将y1＋y2＝－
6m9
，y1y2＝－2代入，知上式成立． 2
3m＋43m＋4
所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.
x2y21
4．(2017·衡水模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆ab2
的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； →→
(2)求OA·OB的取值范围；
(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.
【导学号：07804098】
c16
[解] (1)由题意知＝，＝b，即b＝3.
a22
又a＝b＋c，所以a＝2，c＝1. 故椭圆C的方程为＋＝1. 43
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，
2
2
2
x2y2
y2)．
y＝kx－，??22由?xy＋＝1，??43
消去y可得(3＋4k)x－32kx＋64k－12＝0.
2222
4
则Δ＝32k－4(3＋4k)(64k－12)＞0， 12
解得0≤k＜. 4
32k64k－12
易知x1＋x2＝2，x1x2＝2，
3＋4k3＋4k→→
2
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k(x1－4)(x2－4) ＝(1＋k)x1x2－4k(x1＋x2)＋16k 64k－1232k22
＝(1＋k)·2－4k·2＋16k
3＋4k3＋4k2
2
2
2
2
2
2
2
2422
87
＝25－2.
4k＋312
因为0≤k＜，
4
→→8787878713
所以－≤－2＜－，所以－4≤25－2＜，所以OA·OB的取值范围为
34k＋344k＋34
?－4，13?.
?4???
(3)因为点B，E关于x轴对称，所以E(x2，－y2)， 所以直线AE的方程为y－y1＝令y＝0，可得x＝x1－y1＋y2
(x－x1)． x1－x2
y1x1－x2
.
y1＋y2
因为y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
所以x＝x1－y1x1－x22x1x2－x1＋x2
＝
y1＋y2x1＋x2－8
64k－1232k2×－4×22
3＋4k3＋4k＝＝1. 2
32k2－83＋4k22
所以直线AE与x轴交于定点(1,0)．
5