内容发布更新时间 : 2024/11/15 12:33:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．

25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝

．E为

射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，

＝y．

（1）求AB的长；

（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果＝，求线段CE的长．

【分析】（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可； （2）根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可； （3）根据两种情况，利用勾股定理解答即可．

【解答】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N． ∵AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15， ∴BM＝

在Rt△ABM中，∠AMB＝90°， ∴

∴AB＝13． （2）∵

，

．

，

∴．即得 ，

∵∠AFD＝∠BEC，∠ADF＝∠C． ∴△ADF∽△BCE． ∴

，

又∵CE＝x，FD＝∵AD∥BC， ∴

．

x，AB＝CD＝13．即得 FC＝．

∴．

∴．

∴所求函数的解析式为，函数定义域为．

（3）在Rt△ABM中，利用勾股定理，得．

∴．

∵，

∴S四边形ABEF＝80．

设S△ADF＝S．由△ADF∽△BCE，

，得 S△AEC＝9S．

过点E作EH⊥BC，垂足为点H．

由题意，本题有两种情况：

（ⅰ）如果点G在边AD上，则 S四边形ABCD﹣S四边形ABEF＝8S＝40． ∴S＝5．

∴S△AEC＝9S＝45． ∴

∴EH＝6．

由 DN⊥BC，EH⊥BC，易得 EH∥DN．

．

∴．

又 CD＝AB＝13， ∴

，

（ⅱ）如果点G在边DA的延长线上，则 S四边形ABCD+S四边形ABEF+S△AEF＝9S． ∴8S＝200．解得 S＝25． ∴S△BEC＝9S＝225． ∴

．解得 EH＝30．

∴．

∴，

∴．

【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可