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2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B＝( )．

A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2)

1?2i＝( )． 2?1?i?1111?1?i?1+i1+i1?i2 B．2 C．2 D．2 A．

3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率

是( )．

1111A．2 B．3 C．4 D．6

x2y254．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程

ab2为( )．

111x?x?xA．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝±x

?5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：?x∈R,2＜3；命题q：?x∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是( )．

A．p∧q B．?p∧q C．p∧?q D．?p∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为

xx3

2

2的等比数列{an}的前n项和为3Sn，则( )．

A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an

7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．

A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y＝42x的焦点，P2

为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )．

A．2 B．22 C．23 D．4

9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．

2

10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cosA＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．

A．10 B．9 C．8 D．5 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π 12．已知函数

f(x)＝

??x2?2x,x?0,若|f(x)|≥ax，则a??ln(x?1),x?0.的取值范围是( )．

A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.

?1?x?3,14．设x，y满足约束条件?则z＝2x－y的最大值为______．

?1?x?y?0,?15．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积

为π，则球O的表面积为______．

16．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列???1?的前n项和．

?a2n?1a2n?1?18． (本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

19． (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

x2

20． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝e(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

2222

21． (本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)＋y＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

?x?4?5cost,23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为?(t为参

y?5?5sint?数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈???a1?,?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． ?22?2013年全国统一考试数学文史类(新课标全国卷I)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A

2

解析：∵B＝{x|x＝n，n∈A}＝{1,4,9,16}， ∴A∩B＝{1,4}． 2． 答案：B 解析：

11?2i1?2i?1?2i?i?2?i?1+i. ＝???22?1?i??2i223．

答案：B

解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为4． 答案：C

1. 3c255c5解析：∵e?，∴?，即2?.

a42a2b1b21222

∵c＝a＋b，∴2?.∴?.

a2a4b∵双曲线的渐近线方程为y??x，

a1∴渐近线方程为y??x.故选C.

25． 答案：B

0032

解析：由2＝3知，p为假命题．令h(x)＝x－1＋x， ∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，

32

∴x－1＋x＝0在(0,1)内有解．

32

∴?x∈R，x＝1－x，即命题q为真命题．由此可知只有?p∧q为真命题．故选B. 6． 答案：D

21?ana?1?q?a1?anq3＝3－2an，故选D. 解析：Sn?1??21?q1?q1?3n7． 答案：A

解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．

2

当1≤t≤3时，s＝4t－t. ∵该函数的对称轴为t＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴smax＝4，smin＝3. ∴s∈[3,4]．

综上知s∈[－3,4]．故选A. 8． 答案：C

解析：利用|PF|＝xP?2?42，可得xP＝32.