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1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) limxlnx?＿＿＿＿＿＿. ?x?0(2) 函数y?y(x)由方程sin(x?y)?e?xy?0所确定,则

22x2dy?＿＿＿＿＿＿. dx(3) 设F(x)??x1(2?1)dt(x?0),则函数F(x)的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. t(4)

?tanxdx?＿＿＿＿＿＿. cosx(5) 已知曲线y?f(x)过点(0,?1),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1?x2),则2f(x)?＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当x?0时,变量

11是 ( ) sin2xx(A) 无穷小 (B) 无穷大

(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大

?|x2?1|,x?1,?(2) 设f(x)??x?1 则在点x?1处函数f(x) ( )

? 2, x?1,?(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续

x?x2,0?x?1,(3) 已知f(x)??? 设F(x)??f(t)dt(0?x?2),则F(x)为 ( )

1?1, 1?x?2,?13?131?x,0?x?1?x?,0?x?1(A)??3 (B) ?3 3???x,1?x?2?x,1?x?2?13?131x,0?x?1??x?,0?x?1(C) ?3 (D) ?3 3???x?1,1?x?2?x?1,1?x?2(4) 设常数kx?0,函数f(x)?lnx??k在(0,??)内零点个数为 ( )

e(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

(5) 若f(x)??f(?x),在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0,则f(x)在(??,0)内 ( )

(A) f?(x)?0,f??(x)?0 (B) f?(x)?0,f??(x)?0 (C) f?(x)?0,f??(x)?0 (D) f?(x)?0,f??(x)?0 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)

d2y(1) 设y?sin[f(x)],其中f具有二阶导数,求.

dx22(2) 求limx(x?100?x).

x???2?(3) 求

?40xdx.

1?cos2xxdx.

(1?x)32(4) 求

???0(5) 求微分方程(x?1)dy?(2xy?cosx)dx?0满足初始条件yx?0四、(本题满分9分)

?1的特解.

设二阶常系数线性微分方程y????y???y??e的一个特解为y?e定常数?,?,?,并求该方程的通解. 五、(本题满分9分)

设平面图形体的体积.

六、(本题满分9分)

x2x?(1?x)ex,试确

A由x2?y2?2x与y?x所确定,求图形A绕直线x?2旋转一周所得旋转

作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值. 七、(本题满分6分)

设x?0,常数a?e,证明(a?x)?a八、(本题满分6分) 设

aa?x.

f?(x)在[0,a]上连续,且f(0)?0,证明：

?a0Ma2f(x)dx?,其中M?max|f?(x)|.

0?x?a21993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】0

【解析】这是个0??型未定式,可将其等价变换成

?型,从而利用洛必达法则进行求解. ?1lnxx??limx?0. limxlnx?lim洛limx?0?x?0?1x?0?1x?0??2xxy2?ex?2xcos(x2?y2)(2)【答案】

2ycos(x2?y2)?2xy【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程sin(x?y)?e?xy?0两边对x求导,得

22x2cos(x2?y2)?(2x?2yy?)?ex?y2?2xyy??0,

y2?ex?2xcos(x2?y2)化简得 y??. 222ycos(x?y)?2xy【相关知识点】复合函数求导法则：

如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数点x可导,且其导数为

y?f?g(x)?在

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx (3)【答案】0?x?1 411)dt,两边对x求导,得 F?(x)?2?. tx11?0,即x?.

2x【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性. 将函数F(x)??x1(2?若函数F(x)严格单调减少,则F?(x)?2?所以函数F(x)单调减少区间为0?x?1. 4【相关知识点】函数的单调性：设函数y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

(1) 如果在(a,b)内f?(x)?0,那么函数y?f(x)在[a,b]上单调增加； (2) 如果在(a,b)内f?(x)?0,那么函数y?f(x)在[a,b]上单调减少. (4)【答案】2cos?1/2x?C

【解析】

?3?tanxsinxdx??dx??sinxcos2xdx cosxcosxcosx