内容发布更新时间 : 2024/5/18 6:40:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数值积分与微分
摘要
ewotnCoest?本文首先列举了一些常用的数值求积方法，一是插值型求积公式，以N公式为代表，并分析了复合型的Newton?Cotes公式；另一个是Gauss?Ledendre求积公式，并给出几个常用的Gauss?Ledendre求积公式。其次，本文对数值微分方法进行分析，主要是差分型数值微分和插值型数值微分，都给出了几种常用的微分方法。然后，本文比较了数值积分与微分的关系，发现数值积分与微分都与插值或拟合密不可分。 本文在每个方法时都分析了误差余项，并且在最后都给出了MATLAB的调用程序。
关键词：插值型积分Gauss?Ledendre差分数值微分插值型数值微分 MATLAB
一、常用的积分方法
计算积分时，根据Newton?Leibniz公式，
?baf(x)dx?F(b)?F(a)
但如果碰到以下几种情况：
1）被积函数以一组数据形式表示；
2）被积函数过于特殊或者原函数无法用初等函数表示 3）原函数十分复杂难以计算
这些现象中，Newton?Leibniz公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法，数值积分是常用的近似计算的方法。
1.1 插值型积分公式
积分中的一个常用方法是利用插值多项式来构造数值求积公式，具体的步骤如下： 在积分区间上[a,b]上取一组节点：x0,x1,x2,?,xn(a?x0?x1??xn?b)。已知f(xk)的函数值，作f(x)的n次插值多项式，则
f(n?1)f(x)?Ln(x)?Rn(x)??f(xk)lk(x)?wn?1(x)(n?1)!k?0
其中，lk(x)为n次插值基函数，则得
n?baf(x)dx??(Ln(x)?Rn(x))dxanbbb1 =?[?lk(x)dx]f(xk)?f(n?1)[?(x)]wn+1（x）dx?aa(n?1)!k?0
公式写成一般形式：
?其中，
bbaf(x)dx??Akf(xk)?Rn[f]
k?0n(x?x0)?(x?xk?1)(x?xk?1)?(x?x0)dx
aa(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)k0kk?1kk?1k0b1Rn[f]?f(n?1)[?(x)]wn+1（x）dx ?(n?1)!a显然，当被积函数f为次数小于等于n的多项式时，其相应的插值型求积公式为准确公式，即：
Ak??lk(x)dx??b?1.1.1 求积公式的代数精度
baf(x)dx??Akf(xk)k?0n
定义：求积公式对于任何次数不大于m的代数多项式f(x)均精确成立，而对于
f(x)?xm?1不精确成立，则称求积公式具有m次代数精度。
定理：含有n?1个节点xk(k?0,1,?,n)的插值型求积公式的代数精度至少为n。
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1.2 Newton?Cotes公式 1.2.1 Newton?Cotes公式
将积分区间等分，并取分点为求积公式，这样构造出来的插值型求积公式就是Newton?Cotes公式。
?其中，
ba f(x)dx?(b?a)?Ck(n)（fxk）k?0nnb?a?(b?a)?Ck(n)
k?0且Cotes系数满足重要的关系式：
?Ck?0n(n)k?1 (k=0,1,2,?,n)
n?1时，求积公式为梯形公式（两点公式）：
bb?af(x)dx?[f(a)?f(b)] ?a2梯形公式具有1阶代数精度，余项为：
(b?a)3RT[f]??f??(?) ??[a,b]12
n=2时，求积公式为Simpson公式(三点公式)：
bb?aa?bf(x)dx?[f(a)?4f()?f(b)] ?a62Simpson公式具有3阶代数精度，余项为：
1b?a5(4)RS[f]??()f(?) ??[a,b]
902： n=4时，求积公式为Cotes公式（五点公式）
bb?af(x)dx?[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)] ?a90其中，
b?axk?a?k
4Cotes公式具有5次代数精度，余项为：
8b?a7(6)RC[f]??()f(?) ??[a,b]
94541.2.2 复合Newton?Cotes公式
当积分区间过大时，直接使用Newton?Cotes公式所得的积分的近似值很难得到保证，因此在实际应用中为了既能够提高结果的精度，又使得算法简便且容易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。
所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并从每个小区间上用低阶Newton?Cotes公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值，由此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。
b?a将[a,b]区间n等分，记分点为xk?a?kh(k?0,1,?,n)，其中，h?称为步长，
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