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2010年“北约”自主招生数学试题及解答

1．（仅文科做）0????，求证：sin????tan?． 2?时，f?(x)?1?cosx?0．于是2【解析】 不妨设f(x)?x?sinx，则f(0)?0，且当0?x?f(x)在0?x??上单调增．∴f(x)?f(0)?0．即有x?sinx． 2同理可证g(x)?tanx?x?0． g(0)?0，当0?x??1?g(x)时，g?(x)?．于是在上单调增。 0?x??1?0222cosx?上有g(x)?g(0)?0。即tanx?x。 2注记：也可用三角函数线的方法求解．

∴在0?x?5?1．（25分） 2【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x轴，建立如图所示的平面

直角坐标系．

⑴当A,B中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时有最P2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为大值为PR1；当有一点位于O点时，ABmax?OP?PR1；

Q R1R2O

⑵当A,B均不在y轴上时，知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A?，有AB?A?B）．

P不妨设A位于线段OR2上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB最大的B点必位于线段PQ上．

且当B从P向Q移动时，AB先减小后增大，于是ABmax?AP或AQ； 对于线段PQ上任意一点B，都有BR2≥BA．于是

R2OBQAR1ABmax?R2P?R2Q

由⑴，⑵知ABmax?R2P．不妨设为x． 下面研究正五边形对角线的长．

x-1H1Gx11IE1F

如右图．做?EFG的角平分线FH交EG于H． 易知?EFH??HFG??GFI??IGF??FGH?于是四边形HGIF为平行四边形．∴HG?1．

EFFGEH1?5x1．解得x?． ??21x?1HG?． 5由角平分线定理知

?3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 【解析】 不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交x轴于点D，直线AC与直线

BD相交于点E．如图．设B(x1,y1),A(x2,y2)， 且有y2?1?x22,y1?1?x12,x1?0?x2． 由于y???2x，

于是AC的方程为2x2x?2?y2?y；①

yBD的方程为2x1x?2?y1?y． ②

y?y2,1?x1x2)． 联立AC,BD的方程，解得E(12(x2?x1)2?y2,0)； 对于①，令y?0，得C(2x2

2?y1,0)． 对于②，令y?0，得D(2x1ACEBDOx2?y12?y21?x121?x22???于是CD?． 2x12x22x12x21S?ECD?CD(1?x1x2)．不妨设x1?a?0，?x2?b?0，则

211?a21?b2111S?ECD?(?)(1?ab)?(2a?2b???a2b?ab2)

4ab4ab1111?(a?b)(2?ab?)≥?2ab?(2?ab?) ③ 4ab4ab不妨设ab?s?0，则有

1111111S?ECD?(s3?2s?)?(s3?s?..?s??...?)

2s2339s9s 6个 9个

124116191611613833． ④ ≥?16??s??s)???]?8?()?8??)2?39239s3333,x2??b??, s?又由当x1?a?时，③，④处的等号均可取到． 33383． 911注记：不妨设g(s)?(s3?2s?)，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．

2s1111由g?(s)?(3s2?2?2)知当0?s2?时g?(s)?0；当?s2时g?(s)?0．

332s333则g(s)在(0,时g(s)取得最小值． )上单调减，在(,??)上单调增．于是当s?333

∴(S?ECD)min?4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ1在t0时取得最小值，问当0?t0?时，夹角的取值范围．（25分）

5【解析】 不妨设OA，OB夹角为?，则OP?1?t,OQ?2t，令

g(t)?PQ?(1?t)2?4t2?2?(1?t)?2tcos??(5?4cos?)t2?(?2?4cos?)t?1．

21?2cos?1?2x51?2cos?1．而f(x)?在(?,??)上单调增，故?1≤ ≤．

5?4cos?5?4x45?4cos?31?2cos?11?2cos?1?2?当0≤． ≤时，t0??(0,)，解得???5?4cos?35?4cos?523其对称轴为t?1?2cos??0时，g(t)在[0,1]上单调增，于是t0?0．不合题意．

5?4cos??2?于是夹角的范围为[,]．

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当?1≤?，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2(cosx?sinx)(cosx?sinx)【解析】 不存在；否则有cosx?sinx?cotx?tanx?，

sinxcosxcosx?sinx则cosx?sinx?0或者1?．

sinxcosx22?,,1,1不成等差数列； 若cosx?sinx?0，有x?．而此时224cosx?sinx若1?，有(sinxcosx)2?1?2sinxcosx．解得有sinxcosx?1?2．

sinxcosx11而sinxcosx?sin2x?(0,]，矛盾！

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5．（仅理科做）存不存在0?x?