内容发布更新时间 : 2024/10/20 5:40:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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【2019最新】精选高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲

平面向量练习

一、选择题

1.设a，b是两个非零向量.( ) A.若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D.若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

解析 对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立. 答案 C

2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为( ) A. C.－

B.

315 2315 2D.－

解析 ＝(2，1)，＝(5，5)，||＝5，故在方向上的投影为＝＝ . 答案 A

3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

0，p1：|a＋b|＞1?θ∈???2π? 3??p2：|a＋b|＞1?θ∈???2π

，π? ?3?

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0，?p3：|a－b|＞1?θ∈? ??3??，π?p4：|a－b|＞1?θ∈? ???3?π

π

其中的真命题是( ) A.p1，p4 C.p2，p3

B.p1，p3 D.p2，p4

解析 |a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－， ∴θ∈；

若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，

∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A. 答案 A

4.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( ) A. C.

B. D.

2π

3解析 法一 由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方， 整理可得a·b＝0.①

由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方， 可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.② 将①代入②，得b2＝3a2， 即|b|＝|a|.

而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，

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故cos〈b，a＋b〉＝＝＝＝.

b2

3|a|·2|a|又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.故选A. 法二 如图，作＝a，＝b，

以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b.

由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|， 可得||＝||＝2||，

所以平行四边形OACB是矩形，

→BC＝＝a.

从而||＝2||.

由Rt△BOC中，||＝|OC|?|BC|?3|BC|, 故cos∠BOC＝＝， 所以∠BOC＝.

从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A. 答案 A

5.(2014·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则( ) A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

2解析 由三角形法则知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a＋b|，|a－b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.

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答案 D 二、填空题

6.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).

①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥. 解析 ∵2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；

∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴||＝|b|＝2，故②错误； ∵b＝－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故③错误； ∵＝b，故④正确；

∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0， ∴(4a＋b)⊥，故⑤正确. 答案 ①④⑤

7.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.

解析 法一 如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A(3，0)，B(0，3)， 设

??x＝2，M(x，y)，由＝2，得解得?

?y＝1，?即M点坐标为(2，1)， 所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.

法二 ·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－) ＝2＝3. 答案 3

8.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝，若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.

解析 不妨设b＝xe1＋ye2，则b·e1＝x＋＝1，b·e2＝＋y＝1，因此可得x＝y＝，

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所以|b|＝|e1＋e2|＝. 答案

23 3三、解答题

9.已知向量a＝，b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值. 解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x， |a＋b|＝＝＝2，

因为x∈，所以cos x≥0， 所以|a＋b|＝2cos x.

(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x， 即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因为x∈，所以0≤cos x≤1.

①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得 －1－2λ2＝－，解得λ＝；

③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝. 10.设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.

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3xx3xx???cos ＋cos ?＋?sin －sin ? ??22??22??22