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楚雄师院 数学系09级01班 韩金伟 学号|：20091021135

楚雄师范学院

2012年数学建摸竞赛复赛测试论文

题 目 关于做手术时的医学麻醉药物问题

姓 名 韩 金 伟

系 （院） 数学系09级01班

专 业 数学与应用数学

2012 年 6 月 14

日

题目：关于做手术时的医学麻醉药物问题

摘要：在医学上医生给病人做手术时，往往需要对病人实施麻醉，本次的数学

模型主要就是对人体注射麻醉药物随时间的变化进行建模，首选针对甲病人注射100毫克麻醉药物后，血液中的药物含量随时间变化的数据进行了数学建模，建立关于甲病人体内麻醉药物含量随时间变化的数学模型，甲病人体内麻醉药物随时变化的数学模型；再次通过模型很好的计算出了甲病人要进行2小时手术需要注射麻醉药物的最小量；最后我们建立了不同的病人体内麻醉药物随时间的变化模型，并对其中的参数加以说明，模型的要求和应用给了提示。本次数学建模除了建模本身的价值和意义外，还对医学上的麻醉技术给出了合理的数学应用，通过数学模型医生可以很好的对不同的病人手术时给予合理的麻醉，无论在医学上，还是在人体保健，社会经济上都可以有很好的体现。

关键词：麻醉药物 体外挥发 药物含量 血液 数学模型 价值 意义 麻醉技术 数学应用 人体保健 社会经济

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一、问题重述

随着医学技术的不断发展，医学麻醉技术也成为了人们熟练掌握和善于利用的基本技术之一。在医学上医生在给病人做手术时，往往需要对病人实施麻醉，人在注射了麻醉药物以后，病人就不会感觉到疼痛，这样就可以减轻病人的痛苦。病人在被注射了麻醉药物以后，麻醉药物便会通过身体的各个器官向体外挥发，假设单位时间挥发的药物量与体内的药物含量成正比。由于病人个体情况的差异，对于不同的人，体内药物挥发的速度是不一样的。现在甲病人被注射了某种麻醉药物100毫克以后，我们测量出其血液中药物含量随时间变化的数据，如下表所示。

时间（分钟） 0 20 10.1 40 9.1 60 8.2 80 7.1 100 6.2 120 5.4 140 4.7 160 3.9 180 3.3 200 2.6 含量（毫克/升） 11.6

假设当体内药物含量少于1.5毫克/升时，人就能感受到疼痛，手术就不能很好的进行。请完成以下问题：

1.通过简化假设，建立体内麻醉药物随时间变化的数学模型；

2.假设甲病人需要进行2小时的手术，请问大概需要注射多少麻醉药物？ 3.如果换成另外一个病人，模型又该如何变化，请加以说明。

二、问题分析

经过对问题的分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，通过假设，建立体内麻醉药物随时间变化的数学模型，通过此模型我们要能很好的掌握麻醉药物随时间的变化规律，以便更好的对病人实施麻醉，从而使手术得以顺利地进行；当医生能估计出进行手术的时间，我们就要求能够通过所建立的数学模型求出大概要对病人注射多少麻醉药物；随着病人的更换，麻醉药物在体内的挥发速度就会不同，此时又要合理的调整模型，使他变得合理化。

三、模型假设

我们假设时刻t时人体内麻醉药物含量为x(t)，当时刻t?0时，我们知道这是刚注射完麻醉药物，此时体内麻醉药物含量最高，x(t)是一个相对最大的数，为了能利用微积分这一教学工具，我们将x(t)视为连续，可微函数，并记初始时刻(t?0)的药物含量为x0。单位时间药物的挥发率为r，注射的药物量为m（单位：毫克），人体内的药物含量为?（单位：毫克/升），人体的血液量为v（单位：升），假定麻醉药物只存在于血液中。

四、符号说明

在模型中我们引用到以下的符号，符号的说明和意义如下所示：

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