内容发布更新时间 : 2024/5/2 17:18:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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导数证明不等式构造函数法类别

1、移项法构造函数

1?ln(x?1)?x x?11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)?ln(x?1)??1，

x?1【例1】

已知函数f(x)?ln(x?1)?x，求证：当x??1时，恒有1? 从其导数入手即可证明。

【解】f?(x)?1x ?1??x?1x?1∴当?1?x?0时，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上为增函数 当x?0时，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(?1,0)，单调递减区间(0,??)

于是函数f(x)在(?1,??)上的最大值为f(x)max?f(0)?0，因此，当x??1时，f(x)?f(0)?0， 即ln(x?1)?x?0 ∴ln(x?1)?x （右面得证）， 现证左面，令g(x)?ln(x?1)?11x1?? ?1， 则g?(x)?22x?1(x?1)(x?1)x?1当x?(?1,0)时,g?(x)?0;当x?(0,??)时,g?(x)?0 ， 即g(x)在x?(?1,0)上为减函数，在x?(0,??)上为增函数， 故函数g(x)在(?1,??)上的最小值为g(x)min?g(0)?0，

1?1?0 x?111 ∴ln(x?1)?1?，综上可知，当x??1时,有?1?ln(x?1)?x

x?1x?1∴当x??1时，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)? 图象的下方；

分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方?不等式f(x)?g(x)问题，即只需证明在区间(1,??)上，恒有

122x?lnx. 求证：在区间(1,??)上，函数f(x)的图象在函数g(x)?x3的 23122x?lnx?x3，23122x?lnx?x3成立，设F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考虑到23F(1)?1?0 6要证不等式转化变为：当x?1时，F(x)?F(1)，这只要证明： g(x)在区间(1,??)是增函数即可。

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【解】设F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?22312x?x?lnx， 32(x?1)(2x2?x?1)1(x?1)(2x2?x?1) 则F?(x)?2x?x?= 当x?1时，F?(x)=

xxx从而F(x)在(1,??)上为增函数，∴F(x)?F(1)?∴当x?1时 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)， 故在区间(1,??)上，函数f(x)的图象在函数g(x)?

3、换元法构造函数证明

1?0 623x的图象的下方。 3111?1)?2?3 都成立. nnn1

分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令?x，则问题转化为：当x?0时，恒

n

【例3】（20XX年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln( 有ln(x?1)?x?x成立，现构造函数h(x)?x?x?ln(x?1)，求导即可达到证明。

233213x3?(x?1)2?【解】令h(x)?x?x?ln(x?1)，则h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正， x?1x?1322 所以函数h(x)在(0,??)上单调递增，∴x?(0,??)时，恒有h(x)?h(0)?0， 即x?x?ln(x?1)?0，∴ln(x?1)?x?x 对任意正整数n，取x?32231111?(0,??)，则有ln(?1)?2?3 nnnn【警示启迪】当F(x)在[a,b]上单调递增，则x?a时，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要证明当x?a时，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的单调增性来推导．也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F'(x)?０即可．

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证： af(a)>bf(b)

【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴构造函数 F(x)?xf(x)，

' 则F(x)? xf?(x)+f(x)>0， 从而F(x)在R上为增函数。

?a?b ∴F(a)?F(b) 即 af(a)>bf(b)

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【警示启迪】由条件移项后xf?(x)?f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)?xf(x)，

求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf?(x)?f(x)，则移项后xf?(x)?f(x)，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

5、主元法构造函数

例．（全国）已知函数f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx (1) 求函数f(x)的最大值；

a?b)?(b?a)ln2. 2a?b'证明：对g(x)?xlnx求导,则g(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g()中以b为主变元构造函数,

2(2) 设0?a?b,证明 ：0?g(a)?g(b)?2g( 设F(x)?g(a)?g(x)?2g('a?x'a?xa?x. )]?lnx?ln),则F'(x)?g'(x)?2[g(222 当0?x?a时，F(x)?0,因此F(x)在(0,a)内为减函数.

' 当x?a时,F(x)?0,因此F(x)在(a,??)上为增函数.

从而当x?a时, F(x) 有极小值F(a).

因为F(a)?0,b?a,所以F(b)?0,即g(a)?g(b)?2g( 又设G(x)?F(x)?(x?a)ln2.则G'(x)?lnx?ln'a?b)?0. 2a?x?ln2?lnx?ln(a?x). 2 当x?0时,G(x)?0.因此G(x)在(0,??)上为减函数. 因为G(a)?0,b?a,所以G(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(

6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2. 212x 2 (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x

x

解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ， ∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，

-ｘ-ｘ-ｘ-ｘ-x

即ａ≥ｘｅ对ｘ∈Ｒ恒成立 记ｇ（ｘ）＝ｘｅ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1-x)e， 当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,

∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范围是[1/e, + ∞) (2)记F(X)=f(x) －(1+x) =e?x

x12x?1?x(x?0) 2x

x

则F′(x)=e-1-x, 令h(x)= F′(x)=e-1-x,则h′(x)=e-1

当x>0时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0