内容发布更新时间 : 2024/12/23 8:29:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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导数证明不等式构造函数法类别
1、移项法构造函数
1?ln(x?1)?x x?11 分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数g(x)?ln(x?1)??1,
x?1【例1】
已知函数f(x)?ln(x?1)?x,求证:当x??1时,恒有1? 从其导数入手即可证明。
【解】f?(x)?1x ?1??x?1x?1∴当?1?x?0时,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上为增函数 当x?0时,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(?1,0),单调递减区间(0,??)
于是函数f(x)在(?1,??)上的最大值为f(x)max?f(0)?0,因此,当x??1时,f(x)?f(0)?0, 即ln(x?1)?x?0 ∴ln(x?1)?x (右面得证), 现证左面,令g(x)?ln(x?1)?11x1?? ?1, 则g?(x)?22x?1(x?1)(x?1)x?1当x?(?1,0)时,g?(x)?0;当x?(0,??)时,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上为减函数,在x?(0,??)上为增函数, 故函数g(x)在(?1,??)上的最小值为g(x)min?g(0)?0,
1?1?0 x?111 ∴ln(x?1)?1?,综上可知,当x??1时,有?1?ln(x?1)?x
x?1x?1∴当x??1时,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?
2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)? 图象的下方;
分析:函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方?不等式f(x)?g(x)问题,即只需证明在区间(1,??)上,恒有
122x?lnx. 求证:在区间(1,??)上,函数f(x)的图象在函数g(x)?x3的 23122x?lnx?x3,23122x?lnx?x3成立,设F(x)?g(x)?f(x),x?(1,??),考虑到23F(1)?1?0 6要证不等式转化变为:当x?1时,F(x)?F(1),这只要证明: g(x)在区间(1,??)是增函数即可。
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【解】设F(x)?g(x)?f(x),即F(x)?22312x?x?lnx, 32(x?1)(2x2?x?1)1(x?1)(2x2?x?1) 则F?(x)?2x?x?= 当x?1时,F?(x)=
xxx从而F(x)在(1,??)上为增函数,∴F(x)?F(1)?∴当x?1时 g(x)?f(x)?0,即f(x)?g(x), 故在区间(1,??)上,函数f(x)的图象在函数g(x)?
3、换元法构造函数证明
1?0 623x的图象的下方。 3111?1)?2?3 都成立. nnn1
分析:本题是山东卷的第(II)问,从所证结构出发,只需令?x,则问题转化为:当x?0时,恒
n
【例3】(20XX年,山东卷)证明:对任意的正整数n,不等式ln( 有ln(x?1)?x?x成立,现构造函数h(x)?x?x?ln(x?1),求导即可达到证明。
233213x3?(x?1)2?【解】令h(x)?x?x?ln(x?1),则h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正, x?1x?1322 所以函数h(x)在(0,??)上单调递增,∴x?(0,??)时,恒有h(x)?h(0)?0, 即x?x?ln(x?1)?0,∴ln(x?1)?x?x 对任意正整数n,取x?32231111?(0,??),则有ln(?1)?2?3 nnnn【警示启迪】当F(x)在[a,b]上单调递增,则x?a时,有F(x)?F(a).如果f(a)=?(a),要证明当x?a时,f(x)??(x),那么,只要令F(x)=f(x)-?(x),就可以利用F(x)的单调增性来推导.也就是说,在F(x)可导的前提下,只要证明F'(x)?0即可.
4、从条件特征入手构造函数证明
【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf?(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,求证: af(a)>bf(b)
【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴构造函数 F(x)?xf(x),
' 则F(x)? xf?(x)+f(x)>0, 从而F(x)在R上为增函数。
?a?b ∴F(a)?F(b) 即 af(a)>bf(b)
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【警示启迪】由条件移项后xf?(x)?f(x),容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数F(x)?xf(x),
求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf?(x)?f(x),则移项后xf?(x)?f(x),要想到是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。
5、主元法构造函数
例.(全国)已知函数f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx (1) 求函数f(x)的最大值;
a?b)?(b?a)ln2. 2a?b'证明:对g(x)?xlnx求导,则g(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g()中以b为主变元构造函数,
2(2) 设0?a?b,证明 :0?g(a)?g(b)?2g( 设F(x)?g(a)?g(x)?2g('a?x'a?xa?x. )]?lnx?ln),则F'(x)?g'(x)?2[g(222 当0?x?a时,F(x)?0,因此F(x)在(0,a)内为减函数.
' 当x?a时,F(x)?0,因此F(x)在(a,??)上为增函数.
从而当x?a时, F(x) 有极小值F(a).
因为F(a)?0,b?a,所以F(b)?0,即g(a)?g(b)?2g( 又设G(x)?F(x)?(x?a)ln2.则G'(x)?lnx?ln'a?b)?0. 2a?x?ln2?lnx?ln(a?x). 2 当x?0时,G(x)?0.因此G(x)在(0,??)上为减函数. 因为G(a)?0,b?a,所以G(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(
6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例.已知函数f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2. 212x 2 (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x>0时,f(x)>1+x
x
解:(1)f′(x)= ae-x, ∵f(x)在R上为增函数,∴f′(x)≥0对x∈R恒成立,
-x-x-x-x-x
即a≥xe对x∈R恒成立 记g(x)=xe,则g′(x)=e-xe=(1-x)e, 当x>1时,g′(x)<0,当x<1时,g′(x)>0. 知g(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,
∴g(x)在x=1时,取得最大值,即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范围是[1/e, + ∞) (2)记F(X)=f(x) -(1+x) =e?x
x12x?1?x(x?0) 2x
x
则F′(x)=e-1-x, 令h(x)= F′(x)=e-1-x,则h′(x)=e-1
当x>0时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0