宁夏银川一中2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/3/28 18:47:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

32322a+3b19b4a9b4a∴+=(+)·=(12++)≥4,当且仅当=, abab66abab332

即a=,b=1时,等号成立.∴+的最小值为4,故选D.

2ab

→→→→→→→→→10. D [解析] ∵(OP+OF2)·F2P=0,∴(OP+OF2)·(OP-OF2)=0,∴OP2-OF22=0,OP=OF2=c=OF1,∴PF1⊥PF2,Rt△PF1F2中,∵|PF1|=3|PF2|,∴∠PF1F2=30°.由双曲2a

3-12a1PF2a

线的定义得PF1-PF2=2a,∴PF2=,sin30°====,∴2a=c(3

2F1F22c3-1c(3-1)c

-1),∴=3+1,故选D.

a

11. C [解析] 由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2=k,由此求得a、b、c的值,利用正弦定理可得sinA:sinB:sinC的值.解:→→→→→→→→→→

AB·BC·cos(π-B)BC·CA·cos(π-C)AB·BCBC·CACA·AB

△ABC中,∵==,∴==

32132→→222222

CA·AB·cos(π-A)ac·cosBab·cosCbc·cosAaca+c-baba+b-c

即==,即·=·=

132132ac22abb2+c2-a2

bc,即 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,设2a2+2c2-2b2=3a2+3b2

2bc-3c2=6b2+6c2-6a2=k,求得 a2=5k,b2=3k,c2=4k,∴a=5k,b=3k,c=4k=2k,∴由正弦定理可得a:b:c=sinA:sinB:sinC=5:3:2,故选C.

12.C [解析] f′(x)=3x2-3=0,解得x=±1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.因为函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,所以函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,即实数a满足a<1<6-a2,且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.由a<1<6-a2,解得-5

13.[解析] 原式=2log43+2

-log

3

4=

3+

143=.

33

ππ

14.. [解析] 依题意,f(x)=1-cos2(+x)-3cos2x=sin2x-3cos2x+1=2sin(2x-)+

43ππππ2π1π

1.当≤x≤时,≤2x-≤,≤sin(2x-)≤1,此时f(x)的值是[2,3]

4263323

15. 解。设PQ的中点为N(x′,y′).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x′2+y′2+(x′-1)2+(y′-1)2

=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

t2p+

2ptt2p

16. [解析] 设P(,t),易知F(,0),则由|PM|=2|MF|,得M(,),当t=0时,

2p233t111

直线OM的斜率k=0,当t≠0时,直线OM的斜率k=,所以|k|=≤2=tptp|t|p|t|

p+++2··2pt2p|t|2p|t|2p=

2p|t|2

,当且仅当=时取等号,于是直线OM的斜率的最大值为, 2|t|2p2

三.解答

17.(本小题满分12分)

[解析] (1)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式: 1(2)求出bn=,利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和.

anan+1

2

解:(1)由a2n+2an=4Sn+3,可知an+1+2an+1=4Sn+1+3

10分

2两式相减得a2n+1-an+2(an+1-an)=4an+1, 2分 2即2(an+1+an)=a2n+1-an=(an+1+an)(an+1-an),∵an>0,∴an+1-an=2,

∵a21+2a1=4a1+3,∴a1=-1(舍)或a1=3, 4分 则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,

∴{an}的通项公式an=3+2(n-1)=2n+1: 6分 11111(2)∵an=2n+1,∴bn===(-), 8分

anan+1(2n+1)(2n+3)22n+12n+3∴ 数列{bn}的前n项和

1111111111nTn=(-+-+…+-)=(-)=. 12分

235572n+12n+3232n+33(2n+3)18.(本小题满分12分)

[解析] (1)频率分布直方图如图所示.所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46. 2分

5分

125+125

(2)男居民幸福的概率为=0.5,

500

175+125

女居民幸福的概率为=0.6,故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3.

500因此X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B(4,0.3),

于是P(X=k)=Ck0.3k(1-0.3)4k(k=0,1,2,3,4),X的分布列为 4×

X P 0 0.240 1 1 0.411 6 2 0.264 6 3 0.075 6 4 10分

0.008 1 ∴E(X)=np=4×0.3=1.2. 12分 19.(本小题满分12分)

解:(1)易知AB,AD,A P两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), tt→→→

E(,0,1),F(0,1,0).从而EF=(-,1,-1),AC=(t,1,0),BD=(-t,2,0). 22→→因为AC⊥BD,所以AC·BD=-t2+2+0=0.解得t=2或t=-2(舍去). 3分 2→→

于是EF=(-,1,-1),AC=(2,1,0).

2

→→→→因为AC·EF=-1+1+0=0,所以AC⊥EF,即AC⊥EF. 5分 →→

(2)由(1)知,PC=(2,1,-2),PD=(0,2,-2). 设n=(x,y,z)是平面PCD的一个法向量,则?

?2x+y-2z=0

?2y-2z=0

令z=2,则n=(1,2,2). 10分 设直线EF与平面PCD所成角为θ,

11→

则sinθ=|cos<n,EF>|=.即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为. 12分

5520.(本小题满分12分)

c322,得3a?4c, 1分 ?a2222再由c?a?b,得a?2b, 2分

1由题意可知, ?2a?2b?4,即ab?2. 3分

2?a?2b,x2?y2?1. 4分 解方程组?得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为4?ab?2解:(1)由e?(2)由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k,

则直线l的方程为y=k(x+2), 5分

?y?k(x?2),?于是A,B两点的坐标满足方程组?x2 2,??y?1?4由方程组消去y整理,得(1?4k)x?16kx?(16k?4)?0, 6分

22222?8k24k16k2?4x?,从而y?, ,由?2x1?得112221?4k1?4k1?4k.

8k22k,). 8分设线段AB的中点为M,则M的坐标为(?221?4k1?4k

以下分两种情况:

(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0).线段AB的垂直平分线为y轴,于是

9分

(2)当k?0时,线段AB的垂直平分线方程为令x=0,解得

10分

?2(2?8k2)6k4k6kQA?QB??2x1?y0(y1?y0)=?(?) 22221?4k1?4k1?4k1?4k4(16k4?15k2?1)=?4. 22(1?4k)???故2,故k???整理得7k7k?2,k?综上y0=?22或y0=?21.(本小题满分12分)

221414221414所以=?,. 11分所以y0y=0?7755

214. 12分. 5[解析] (1)因为f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+∞). 1-2ax2+(a-2)x-(2x-1)(ax+1)1

所以f′(x) =-2ax+(a-2)==.

xxx因为f(x)在x=1处取得极值,即f′(1) =-(2-1)(a+1)=0,解得a=-1. 1

当a=-1时,在(,1)上f′(x)<0,在(1,+∞)上f′(x) >0,

2此时x=1是函数f(x)的极小值点,所以a=-1. (2)因为a2

(2x-1)(ax+1)

.

x

11

因为x∈(0,+∞),所以ax+1>0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.

22

1

①当0

2

?②当?1

a

2

1a>,2

1211

1aa-2a

所以f(x)max=f()=-ln2-+=-1-ln2;

2424

12

③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]上单调递减,所以f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.

221

综上所述,当0

212a

22.(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4 1分

所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ 2分 2

≤a<1时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2. 2

曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4, 3分 所以C2的极坐标方程为ρ=4sinθ. 4分 (2)设点P的极坐标为(ρ1,α), 5分 ππ

即ρ1=4cosα,点Q的极坐标为(ρ2,(α-)),即ρ2=4sin(α-), 6分

66π31

则|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cosα·4sin(α-)=16cosα·(sinα-cosα)

622

ππ

=8sin(2α-)-4. ∵α∈(0,), 8分

62

ππ5ππππ

∴2α-∈(-,).当2α-=,即α=时,|OP|·|OQ|取最大值4. 10分

666623 23.

2