内容发布更新时间 : 2024/11/16 21:47:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第三节 三角函数的图像与性质

[最新考纲] 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交

?ππ?点等)，理解正切函数在区间?－，?内的单调性．

?22?

(对应学生用书第64页)

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

?π?正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，?，1?，(π，0)，?2??3π，－1?，(2π，0)．

?2???

?π?余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，?，0?，(π，－1)，

?2??3π，0?，(2π，1)．

?2???

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 图像 y＝sin x y＝cos x y＝tan x R [－1,1] R [－1,1] ??π??x?x≠kπ＋，k∈Z2???定义域 值域 ??? ??R 递增区间： 递增区间： [2kπ－π，2kπ]， 递增区间 ?2kπ－π，2kπ＋π?， ?22???单调性 k∈Z， 递减区间： k∈Z， 递减区间： [2kπ，2kπ＋π]， ?kπ－π，kπ＋π?，k∈Z ?22????2kπ＋π，2kπ＋3π?， ??22??k∈Z k∈Z 奇偶性 奇函数 对对称中心(kπ，0)，k∈Z 偶函数 称中心奇函数 ?kπ＋π，0?，?kπ?k 对称中心?，0?，k∈Z ??2???2?∈Z 对称轴对称性 π对称轴x＝kπ＋(k∈Z) 2周期性 [常用结论] 2π x＝kπ(k∈Z) 2π π 1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的1

对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

4

2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

3．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.

( ) ( ) ( )

(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数． [答案](1)√ (2)× (3)× (4)× 二、教材改编

1．函数y＝tan 2x的定义域是( )

???π

A.?x?x≠kπ＋，k∈Z

4??????kππ

B.?x?x≠＋，k∈Z

28???

???π

C.?x?x≠kπ＋，k∈Z

8???

???kππ

D.?x?x≠＋，k∈Z

24???

( )

??? ????? ????? ????? ??

πkππ

D [由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

224

???kππ

∴y＝tan 2x的定义域为?x?x≠＋，k∈Z

24???

??

?.] ??

π??2．函数f(x)＝cos?2x＋?的最小正周期是________．

4??2π

π [T＝＝π.]

2

π??3．y＝sin?2x－?的单调减区间是________． 4??

?3π＋kπ，7π＋kπ?(k∈Z) [由π＋2kπ≤2x－π≤3π＋2kπ，k∈Z得，3π＋

?8?82428??

kπ≤x≤

7π

＋kπ，k∈Z.] 8

π???π?4．y＝3sin?2x－?在区间?0，?上的值域是________． 6?2???

?－3，3? [当x∈?0，π?时，2x－π∈?－π，5π?，

?2?????2?6?6?6???

π??1??sin?2x－?∈?－，1?，

6??2??π??3??故3sin?2x－?∈?－，3?，

6??2??π???3?即y＝3sin?2x－?的值域为?－，3?.]

6???2?