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数学建模论文

姓名: 文 勇

学号：201315020220

论文标题：最佳捕鱼方案

1. 问题的提出

一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。 据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和， 捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？

2. 问题分析

通过简单的分析和思考，该问题可以归为一个数学规划问题。条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。

3. 条件假设

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1、日供应量不受外界条件的变化而变化，是一定的。 2、当天售出的草鱼数量等于当天捕捞的草鱼。

3、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。

4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。高放水的前一天为t=0,则水位降至5米时的那一天为t=20。故每公斤草鱼的捕捞成本为cb=6-0.15t,草鱼的损失率cn=0.5%t ( t ≤20,t ∈N) 5、在模型二、三中，

（1）无论造成草鱼损失的原因是什么，我们假设每天草鱼损失的数量为前一天的水库里草鱼的余量乘以当天的损失率。

（2）每日捕捞前均对已死亡的鱼进行处理，使捕捞出的草鱼皆为活鱼，且在运输到售卖点的途中无死亡。即售出的鱼与当日捕捞的鱼的数量一致。

4. 符号及变量说明

h——水库水位 ti——表示第i天

C——草鱼的单价 Cb——每公斤草鱼的捕捞成本 ct——第t天草鱼的损失率 xt——第t日草鱼的售出量 Y——所有草鱼卖出后所得的钱； Z——捕捞所有草鱼的成本；

xi——第i天草鱼的捕捞量； yi——第I 天每公斤草鱼的售价; zi——第i天成本； mi——第i天鱼的死亡量； si——第i天的鱼的死亡率； ni——第i天鱼的存活率； ki ——第i天晚上水库里排除当天的是捕捞量与死亡量剩下的鱼量；

wi——第i天的早上水库的鱼量； ai bi ci di：表示0-1规划的变量； Pi：i天内实际售出的总的草鱼量；

5. 模型的建立与求解

通过查找资料，我们得知草鱼的损失与水位并无直接的联系，通常是由于水

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中的溶氧量，水温等因素造成的。 5.1模型一：

我们令草鱼的损失与水位无关且在假设3的情况下，首先，我们先将条件（3）用数学符号表示出来，则有：

xt?500kg?30元?每公斤草鱼售价：C??25元 500kg?xt?1000kg

?20元1000kg?xt?1500kg?在该假设下，损失鱼的总量容易求出，为2625公斤。

设第t天捕捞草鱼xt公斤，其价为y元/公斤，则该天的实际捕捞量为(1?0.5%n)xt 该天的利润w1为：

w1?(1?0.5%t)xt(y?bt)?(1?0.5%t)xt(y?6?0.15t)?xn(?0.00075t?0.18t?0.005ty?y?6)2

1）若xt≤500kg，则y=30元，则w1?xt(?0.00075t2?0.03t?24)，对称轴为20。

2）若500≤xt≤1000kg，则y=25元，则w1?xt(?0.00075t2?0.055t?19)，对称轴大于20。

3）若1000≤xt≤1500kg，则y=20元，则w1?xt(?0.00075t2?0.08t?14)，对称轴大于20。

由此可知随着天数的增加，W1值递增。即当价格不变的情况下，第20天时，当天利润最大。

由上面的分析可知，在市场容量允许的范围内，草鱼捕捞时间越后，获利越大。但市场的容量是有限的，投放量不能超过1500公斤，且随着投放量的增加，价格随着下降。我们可以列出下表。 W1’ W2’ W3’ 价格/元 第1天的利润/元 第20天利润/元 30 25 20 12015 19054 21119 12150 19800 22950 捕捞量/kg 500 1000 1500 在该模型下，我们可以采取以下的方案来捕捞鱼。由损失的鱼量（2625kg）,计算出水库能够售出的鱼的数量为22375kg。

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方案一，每天捕捞500kg。显然，若维持每天的捕捞量不变，1000kg的利润明显比500kg的利润多。故不计算了。

方案二，每天捕捞1000kg的捕捞量，总利润为38940元。

方案三，价格为20元的情况下，最多维持14天，还剩下的鱼有1375公斤，则第15天，采用25元的售价，售出1000kg，第16天用20元的价格,售出375kg。则在这种情况下的总利润为305460+19656+8898.8=343414元。

方案四，第20天售出1375kg的情况，另外让售价为25元维持15天（前15天），售价为20元的维持4天（第16天至第19天），这样取得的最大部利润为290670+ 91016+ 22950=404636元。

在这样的假设前提下，我们可以选择方案4，使利润最大。但是实际情况常常与此不是很符合。所以我们又对问题进行了进一步的分析，建立了模型二和模型三。

5.2 模型二：

虽然草鱼的损失与水位并无直接的联系，但是溶氧量，水温等因素可能也是由于水位的降低造成的。所以，在模型二的假设前提条件下，我们假设损失率与水位成一次线性关系，且不存在草鱼日供应量大于1500kg的情况，则有：

当时xi?500kg，当5yi?30；0?x10i?时 ，当1yi?25 ；0?150xi?：

此时假设其货价与售量成一次线性关系过点（1000，20），（1500，6）；

yi??02.848xi?；

第i天的售价为

Yi?[30ai?25bi?(?0.028xi?48)ci]xi (ai?bi?ci?1；ai,bi,ci?0或 1)； 所以总售价

Y??[30ai?25bi?(?0.028xi?48)ci]xi (ai?bi?ci?1；ai,bi,ci?0或 1)；

i?120成本： 此时假设其货价与水位成一次线性关系，因捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。故此时成本与水位的关系为Z?0.3h?1.5（5?h?15）；因为水位与时间的关系h??0.5t?15；第i

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