内容发布更新时间 : 2024/6/22 4:36:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第 16 次理论课教学安排

课程名称 授课专业 授课内容 授课类型 高等数学 2.4导数的应用（三） 课程类型 必修课 √ 选修课 授课学时 2 理论课 √ 上机课 □ 讨论 □ 习题课 □ 其它 □ 1、理解曲线凹凸性的概念 教学目的 与要求 2、掌握曲线凹凸性的判别方法 3、掌握拐点的求法 教学重点、 难点 重点：曲线的凹凸性与拐点 难点：曲线的凹凸性与拐点 教学方法 以讲授为主，讲练结合 一、问题引入 教学过程 二、讲授新课 三、总结及作业布置 （1）《高等数学》 夏国斌主编 省规划教材、安徽大学出版社 参考资料 （2）《高等数学》 程伟主编、孙祖康主审 中国科技大学出版社 （3）《高等数学》，夏国斌主编，电子科技大学出版社 （4）《高等数学学习指导》，吴方庭主编，电子科技大学出版社

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2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点

课题： 曲线的凹凸与拐点

目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形

的拐点等方法。

重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程：

函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？

一、曲线的凹凸与拐点

y?f(x)yBAy?f(x)yAoBxox

1．曲线的凹凸定义和判定法

从图1可以看出曲线弧ABC在区间?a,c?内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间?c,b?内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：

定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．

例如，图1中曲线弧ABC在区间?a,c?内是凹的，曲线弧CDE在区间?c,b?内是凸的．

图1

由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x的增大而增大；对于凸

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的曲线弧，切线的斜率随x的增大而减小．由于切线的斜率就是函数y?f?x?的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线y?f?x?的凹凸性可以用导数f??x?的单调性来判定．而f??x?的单调性又可以用它的导数，即y?f?x?的二阶导数f???x?的符号来判定，故曲线

y?f?x?的凹凸性与f???x?的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：

定理1 设函数y?f?x?在?a,b?内具有二阶导数．

（1）如果在?a,b?内，f???x?＞0，那么曲线在?a,b?内是凹的； （2）如果在?a,b?内，f???x?＜0，那么曲线在?a,b?内是凸的．

3例１ 判定曲线y?x的凹凸性．

2．拐点的定义和求法

定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．

定理2(拐点存在的必要条件) 若函数f?x?在x0处的二阶导数存在,且点

?x0,f?x0??为曲线y?f?x?的拐点,则f???x0??0.

我们知道由f???x?的符号可以判定曲线的凹凸．如果f???x?连续，那么当f???x?的符号由正变负或由负变正时，必定有一点x0使f???x0?＝0．这样，点?x0,f?x0??就是曲线的一个拐点．因此，如果y?f?x?在区间?a,b?内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线y?f?x?的拐点:

(1) 确定函数y?f?x?的定义域；

(2) 求y???f???x?；令f???x?＝0，解出这个方程在区间?a,b?内的实根； (3) 对解出的每一个实根x0，考察f???x?在x0的左右两侧邻近的符号．如果f???x?在x0的左右两侧邻近的符号相反，那么点?x0,f?x0??就是一个拐点，如果f???x?在x0的左右两侧邻近的符号相同，那么点?x0,f?x0??就不是拐点．

例２ 求曲线y?x?3x的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数的定义域为???,???；

（2）y??3x?6x,y???6x?6?6?x?1?；令y???0，得x?1；

232（3）列表考察y??的符号（表中“是凸的）：

”表示曲线是凹的，“” 表示曲线

x ???,1? - 1 0 拐点 ?1,??? + y?? 曲线y .

?1,?2?