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第七章 数列与数学归纳法

7.7.1数列的极限

【课堂例题】

例1.考察下列数列，写出它们的极限： (1),,,?, (2)?

(3)0.99,0.992,0.993,?,0.99n,?

例2.判断数列5.9,6.01,5.999,6.0001,?6?(?

例3.下列数列是否存在极限? (1)1,1,1,?,1,?

(2)?1,1,?1,?,(?1)n,?

3571232n?1,? n11111,,?,,?,(?)n,? 2481621n),?有没有极限，并说明理由. 10?1,n?107?(3)an??1 7?,n?10?n

第七章 数列与数学归纳法

7.7.1数列的极限

【知识再现】

1.一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an 常数

A，那么A叫做数列{an}的极限，或称数列{an} 于A，记作 .

2.两个常见数列的极限： ①lim1? ；②当a满足 时，liman? .

n??n??n【基础训练】

1.下列数列中，极限存在的数列是（ ）

(?1)n?1,?； （B）?,?2,?3,?,?n,?； （A）0,1,0,1,?,22483927?2??3?（C）,,,?,??,?； （D）,,,?,??,?.

3927248?3??2?2.分别判断数列?an?是否有极限，并利用两个常见数列的极限简述理由.

n?1(1)an?， ；

n?1?(2)an?1????， .

?2?3.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限值：

(1)7,7,7,?,7,? ；(2)?3,3,?3,?,3?(?1)n,? ； (3)2,4,6,?,2n,? ；(4)0,?nnn121,?,?,?1,? . 23n?n?1?n,1?n?2011,?4.数列?an?的通项公式an??则liman? . nn????1?,n?2012,?????2?3n?25.(1)已知数列?an?的通项公式an?，填写下表，并判断这个数列是否有极限.

2n?1(精确到0.001) n 1 2 3 4 ? 10 ? 50 ? 100 ? 1000 ? an an?3 2 2n2?1,填写下表，并判断这个数列是否有极限. (2)已知数列?an?的通项公式an?n2(精确到0.001) n 1 2 3 4 ? 10 ? 50 ? 100 ? 1000 ? an an?2 第七章 数列与数学归纳法

6.判断下列关于数列极限的叙述是否正确，若不正确请举出反例. (1)如果

1111?,所以lim?lim.

n??n??n2nn2nn??(2)如果liman?A,那么对一切正整数n，都有an?A.

22(3)如果liman?A,那么liman?A

n??n??

7.利用计算器，判断下列数列是否存在极限. (1)an?nn； (2)bn?nsin1. n

【巩固提高】

8.举出两个极限为2的数列,要求一个各项均大于2,另一个各项均小于2.

?1*1?,n?2k?1,k?N?(?1)?n?n9.已知数列{an}与{bn}的通项公式分别是an?，bn??，

2n?1?2?1,n?2k,k?N*??nn判断这两个数列是否有极限，并简述理由.

(选做)10.利用数列极限定义，证明：lim

【温故知新】 11.已知数列an?3n3?.

n??1?4n41，前n项和为Sn，则limSn? .

n??n(n?1)