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北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）
高三数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）若a，b?R，i是虚数单位，且b?(a?2)i?1?i，则a?b的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若集合A?{0,m2}，B?{1,2}，则“m?1”是“A?B?{0,1,2}”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
?y?x,?（3）若点P(x,y)在不等式组?y??x,表示的平面区域内，则z?2x?y的最大值为
?x?2? （A）0 （B）2 （C） 4 （D）6
（4）已知x，y，z?R，若?1，x，y，z，?3成等差数列，则x?y?z的值为
（A）?2
（B）?4
（C）?6
（D）?8
（5）右图给出的是计算
11111????...?的值的一个程序框图， 2468100 其中判断框内应填入的条件是
（A） i?50 （B） i?25 （C）i?50 （D） i?25
2??，且0???90，则cos?的值为 1034512 （A） （B） （C） （D）
551313（6）已知sin(??45)???x（7）已知函数f(x)?(x?a)(x?b)(其中a?b)的图象如右图所示，则函数g(x)?a?b的
图象大致为
（A） （B） （C） （D）
1?x?,x?A,11?（8）设集合A?[0,)，B?[,1]，函数f(x)??若x0?A，且222??2(1?x),x?B.f[f(x0)]?A， 则x0的取值范围是
（A）(0,
111113] （B） (,] （C）(,) （D） [0，] 484242第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 .
(10) 命题“?x0?(0,),tanx0?sinx0”的否定是 .
(11) 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；
若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数
后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．
(12)双曲线x?y?2的离心率为 ；若抛物线y?ax的焦点恰好为该双曲线的右焦点，
则a的值为 .
22212主视图12左视图?22俯视图 5 4 甲 5 5 0 1 1 7 8 9 9 4 3 4 乙 6 4 7 ????????DAD?BD?2ABCAD?BCCD?1(13)已知△中，于，，，则AB?AC?___．
?an,an为偶数,??2?(14) 已知数列?an?，a1?m，m?N，an?1??若?an?中有且只有5个
a?1?n,an为奇数.??2不同的数字，则m的不同取值共有 个．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）
已知函数f(x)?(sin2x?cos2x)2?2sin22x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y?g(x)的图象是由y?f(x)的图象向右平移
?个单位长度得到的，当8?x?[0,]时，求y?g(x)的最大值和最小值.
4
（16）（本小题共13分）
某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区. （Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为经过
同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低
碳小区”的标准？
频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05 频率 组距 0.46 1，数据如图1所示，20.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 图1 4 5 6 月排放量 （百千克/户O O 1 2 3 4 5 图2 月排放量 （百千克/户
（17）（本小题共14分）
如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AE?FC?CP?1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF?平面
EFB，连结A1B，A1P.（如图2）
（Ⅰ）若Q为A1B中点，求证：PQ∥平面A1EF； （Ⅱ）求证：A1E?EP.
BPCFEAA1QEF
BPC 图1 图2
（18）（本小题共13分）
已知x?1是函数f(x)?(ax?2)ex的一个极值点．(a?R) （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x1，x2??0,2?时，证明：f(x1)?f(x2)?e．
（19）（本小题共13分）
x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点?0,1?，且离心率为. ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
D，点P是椭圆C上异（Ⅱ）A1,A2为椭圆C的左、右顶点，直线l:x?22与x轴交于点
于A直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点.证明：DE?DF恒为定值. 1,A2的动点，
（20）(本小题共14分)
对于函数f(x)，若f(x0)?x0，则称x0为f(x)的“不动点”；若f?f(x0)??x0，则称x0为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即
A??xf(x)?x?,
B?xf?f(x)??x.
??
（Ⅰ）设函数f(x)?3x?4，求集合A和B； （Ⅱ）求证：A?B；
（Ⅲ）设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，且A??，求证：B??.
北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）
高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）D （4）C （5）B （6）D （7）A （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）4 （10）?x?(0,?32),tanx?sinx （11）84 （12）2 8 （13）2 （14）8 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?(sin2x?cos2x)2?2sin22x
?sin4x?cos4x
?2sin(4x??4) , ????6分
所以函数f(x)的最小正周期为?2. ????8分
（Ⅱ）依题意,y?g(x)?2sin[4(x???8)?4]
?2sin(4x??4). ????10分
因为0?x??4，所以??4?4x??3?4?4. ????11分 当4x??4??2，即x?3?16时，g(x)取最大值2；
当4x??4???4，即x?0时， g(x)取最小值?1. ????13分
乙