内容发布更新时间 : 2024/5/3 16:31:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

离散型随机变量的均值与方差导学案

【知识梳理】

1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为：

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2 3.特殊分布的均值与方差

X X～B(1，p) X～B(n，p) np X～H(M，N，n) X～N(μ，σ2) E(X) p nN Mμ D(X) p(1－p) np(1－p) nNnNn(n?1)M(M?1)?()2?MMN(N?1) σ2 【典型例题】

【例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

【例2】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0． （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【例3】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求

①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和

50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

【例4】有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不

能放回．求试开次数的数学期望和方差．

【例5】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

?0.5，确定n的最小值； （Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X?n）（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在n?19与n?20之中选其一，应选用哪个？

频数4020O891011更换的易损零件数

【例6】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系； 40?X?80 80?X?120 X?120 年入流量 1 2 3 发电机最多可运行台数 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台