内容发布更新时间 : 2024/12/26 1:12:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2.1.3 推理案例赏析
2.1.4
[对应学生用书P23]
[例1] 观察如图所示的“三角数阵”: 归纳推理的应用 记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N ),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:
(1)
第
6
行
的
6
个
数
依
次
为 、 、 、 、 、 ;
(2)依次写出a2、a3、a4、a5; (3)归纳出an+1与an的关系式.
[思路点拨] (1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果.
(2)由数阵可直接写出答案.
(3)写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论.
[精解详析] (1)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.
[答案] 6,16,25,25,16,6
(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11 (3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4, ∴由此归纳:an+1=an+n.
[一点通] 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了.
1.设[x]表示不超过x的最大整数,如[5]=2,[π]=3,[k]=k (k∈N ).
我的发现:[1]+[2]+[3]=3; [4]+[5]+[6]+[7]+[8]=10;
[9]+[10]+[11]+[12]+[13]+[14]+[15]=21; …
通过归纳推理,写出一般性结论 (用含n的式子表示).
解析:第n行右边第一个数是[n2],往后是[n2+1],[n2+2],…,最后一个是[n2+2n].等号右边是n(2n+1).
答案:[n2]+[n2+1]+[n2+2]+ … +[n2+2n]=n(2n+1)
2.(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域?
(a) (b) (c) (d)
(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(3)现已知某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边?
解:(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
(a) (b) (c) (d) 顶点数 3 8 6 10 边数 3 12 9 15 区域数 2 6 5 7 顶点数 边数 区域数 (2)观察:3+2-3=2;8+6-12=2;6+5-9=2;10+7-15=2,
通过观察发现,它们的顶点数V,边数E,区域数F之间的关系为V+F-E=2. (3)由已知V=999,F=999,代入上述关系式得E=1 996,故这个平面图形有1 996条边.
[例2] 通过计算可得下列等式: 23-13=3×12+3×1+1; 33-23=3×22+3×2+1; 43-33=3×32+3×3+1; …
(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1. 将以上各等式两边分别相加,得
(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n, 1
即12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).
6
类比上述求法,请你求出13+23+33+…+n3的值.
[思路点拨] 类比上面的求法;可分别求出24-14,34-24,44-34,…(n+1)4-n4,然后将各式相加求解.
[精解详析] ∵24-14=4×13+6×12+4×1+1, 34-24=4×23+6×22+4×2+1, 44-34=4×33+6×32+4×3+1, …
(n+1)4-n4=4×n3+6×n2+4×n+1. 将以上各式两边分别相加,
得(n+1)4-14=4×(13+23+…+n3)+6×(12+22+…+n2)+4×(1+2+…+n)+n 1n?n+1??121
?n+1?4-14-6×n?n+1?·?2n+1?-4×∴13+23+…+n3=?-n=n(n+64?2?41)2.
[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比,从而产生解题方法的迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.
(2)类比推理的步骤与方法
第一步:弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.
类比推理的应用