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2019年高中人教A版数学选修1-1练习
习题课——椭圆的综合问题
课后训练案巩固提升
一、A组
1.(2016四川绵阳高二月考)已知点M( ,0),直线的周长为( ) A.4 B.8
2
y=k(x+ )与椭圆+y=1相交于
A,B两点,则△ABM
C.12 D.16
解析:椭圆+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c= - ,所以椭圆的两个焦点为N(-
,0),M( ,0).又因为直线y=k(x+ )必经过定点N(- ,0),由椭圆的定义知△ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=(|AN|+|AM|)+(|BN|+|BM|)=2a+2a=4a=8. 答案:B 2.(2016滨州二中月考)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为 ( ) A.1 B. C.2 D.2
解析:设椭圆 =1(a>b>0),则当三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,
∴S= ×2c×b=bc=1≤ ,∴a2≥2,
∴a≥ ,∴长轴长2a≥2 ,故选D.
答案:D 的最大值为( ) 3.若O和F分别为椭圆 =1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则
A.2 B.3 C.6 D.8
=(x,y), =(x+1,y),所以 解析:由题意可知O(0,0),F(-1,0),设点P为(x,y),则
=x(x+1)+y2=x2+x+y2=x2+x+3- x2= x2+x+3= (x+2)2+2.因为x∈[-2,2],所以当x=2时, 取最大
)max= ×(2+2)2+2=6. 值,(
答案:C 4.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.射线 D.直线
解析:因为|PQ|=|PF2|,且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|,故|F1Q|=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上. 答案:A 5.椭圆 =1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .
解析:∵a=9,b=2,
22
∴c= -
= - , ∴|F1F2|=2 .
又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF2|=2.
又由余弦定理得答案:2 120°
-
cos ∠F1PF2==-,∴∠F1PF2=120°.
6.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为 .
解析:由 消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1+x2=-2,x1x2=-6.
所以弦长|MN|= |x1-x2|= - .
答案: 7.(2016广西柳州高二月考)焦点分别为(0,5 )和(0,-5 )的椭圆截直线y=3x-2所得椭圆的弦的中点的横坐标为,则此椭圆的方程为 .
解析:设此椭圆的标准方程为 =1(a>b>0),且a2-b2=(5 )2=50.
由 得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.
①
- 故--
22
=2×,即a=3b,
②
答案: =1
8.已知点A - ,B是圆
由①②得a2=75,b2=25,此时Δ>0,所以所求椭圆方程为 =1.
2
F: - +y=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交
BF于P,求动点
P的轨迹方程.
解:如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,因此a=1,c=,b2=.
故动点P的轨迹方程为x+即x2+ y2=1. 9.已知椭圆
2
=1,
=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b. (1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
解:(1)由题意,得 解得
故椭圆的方程为x
2
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0). 联立直线与椭圆的方程,得 M - .
+ =1.
即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0= =- ,y0=x0+m= ,即
-
又因为点M在圆x2+y2=5上,所以 - =5,解得m=±3.
10.
导学号59254020已知椭圆
C:
F1和F2,离心率
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
e=,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 .
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A,B是直线l:x=2 上的不同两点,若 =0,求|AB|的最小值.
解:(1)由题意,得
解得
所以椭圆的标准方程为
=1. (2)由(1)知,F1(- ,0),F2( ,0). 设A(2 ,y1),B(2 ,y2), 则 =(-3 ,-y1), =(- ,-y2). 由 =0,得y1y2+6=0, 即y2=- .
不妨设y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+≥2 , 当y1= ,y2=- 时等号成立, 所以|AB|的最小值是2 .
二、B组
1.已知椭圆E:
A. =1
C. =1
=1(a>b>0)的右焦点为
F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点
坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )
B. =1
D. =1
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,有
两式相减得=-
- ∴
=1,
=1,
-
- -
, -
∵线段AB的中点坐标为(1,-1), ∵右焦点为F(3,0),c=3, ∴a2=18,b2=9,
∴椭圆E的方程为 =1.
.
答案:D 2.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(0,-2)和的值是( ) A. B.2 C.2 解析:由椭圆定义,得|BA|+|BC|=4 .
故
C(0,2),顶点B在椭圆 =1上,则 D.4
.
答案:A 3.过椭圆 =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在直线的斜率等于( )
A.-2 B. C.- D.2 解析:设所求直线的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,
得(4k+1)x-8(2k-k)x+4(2k-1)-16=0. 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是方程的两根,于是x1+x2=
-
2222
.
∵M为AB的中点,
∴
-
=2,解得k=-.
答案:C 4.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足 =0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
( ) A.(0,1)
B.
C.
D.
解析:依题意,得c .又0 答案:C 5.已知椭圆C的焦点分别为F1(-2 ,0),F2(2 ,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点. (1)求线段AB的中点坐标; (2)求△OAB的面积. 解:(1)设椭圆C的方程为 2 +y=1. =1(a>b>0),由题意,得 a=3,c=2 ,于是b=1,所以椭圆C的方程为 得10x2+36x+27=0. 由 因为该一元二次方程的Δ>0,所以点A,B不重合. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- ,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=- +4= ,故线段AB的中点坐标为 - . (2)法一:设点O到直线y=x+2的距离为d, 则d= - .又x1x2=, 所以|AB|= - = - - , 故S△AOB= 法二:设直线y=x+2与x轴交于点M(-2,0), 则S△OAB=S△OAM+S△OBM, 则S△OAB= ·2|y1|+ ·2|y2|=|y1-y2| = - - = - - . . 由(1)可知,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4= ,y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=- , 6.导学号59254021已知椭圆 离心率. (1)求椭圆C2的方程; =2 ,求直线AB的方程. (2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上, 解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为 故椭圆C2的方程为 =1. - =1(a>2),其离心率为 ,故 2 C1: +y=1,椭圆C2以 C1的长轴为短轴,且与C1有相同的 ,则a=4, 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y(2)法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 =2 轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx, 将将 又由 =2 得 =4 ,即 y=kx代入 +y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以 . y=kx代入 =1中,得(4+k2)x2=16,所以 . 解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x. 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 =2 上,因此可设直线AB的方程为y=kx. 2 将y=kx代入 +y=1中,得(1+4k2)x2=4,所以 , . 由 =2 得 将 代入 即4+k2=1+4k2,解得k=±1, 故直线AB的方程为y=x或y=-x. =1中,得 =1, ,