内容发布更新时间 : 2024/12/28 15:33:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）

一、选择题（每小题4分，共20分） 1、若 y1,y2 是方程 y??P(x)y?Q(x)使

(Q(?x0)) 的两个特解，要

?y1??y2 也是解，则 ? 与 ? 应满足的关系是（ D ）

11 B ????1 C ???0 D ???? 22A ????2、下列方程中为全微分方程的是（ C ） A (2?2xy?y2)dx?(x?y?1)2dy?0 B (x2?xy2)dx?(y2?x2y)dy?0 C (1?e?2?)d??2?e?2?d??0 D (x2?y2)dx?(2xy?x)dy?0

23、设 ? 为实常数，方程 y???2?y???y?0 的通解是（ D ）

A C1e??x?C2 B C1cos?x?C2sin?x C e??x(C1cos?x?C2sin?x) D (C1?C2x)e??x 4、方程 y???2y??2y?ecosx 的特解 y 形式为（ B ） A B axecosx?bxesinx C axecosx?bxesinx D axecosx 5、已知 y?e?xx2x2x2xxxx*?xx0y(t)dt ，则函数 y(x) 的表达式为（ D ）

xA y?xe?C B y?xe C y?xe?Ce D y?(x?1)e

xx 1

二、填空题（每axecosx小题4分，共20分） 1、 方程

xdy12y? 的通解是 x?e(y?C) 2ydx2x?e2、 方程 x(y??1)?y 的通解是 y?x(lnx?C)

3、 以 y1?e2x,y2?xe2x 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为

y???4y??4y?0

4、 已知方程 y???y?0 的积分曲线在点 O(0,0) 处与直线 y?x 相

切，则该积分曲线的方程为 y?1x?x(e?e)?shx 21 x25、 方程 xdy?ydx?0 的一个只含有 x 的积分因子为 ??三、（共60分）

1、（8分）求方程 (y?x?1)dx?(2y?2x?3)dy?0 的通解 解：令 y?x?1?u，则 dy?du?dx，代入原方程得

?(u?1)dx?(2u?1)du 即 (2?1)du??dx，两边积分得 u?12u?ln(u?1)??x?C1，代回原方程，得通解

2y?x?ln(y?x?2)?C

2、（6分）求方程 (1?x)dy?(2xy?3x?3)dx的通解 解：方程改写为 y??22222xy?3，则通解为 1?x2y?eln(1?x)[?3e?ln(1?x)dx?C]?(1?x2)(C?3arctanx)

3、（8分）求微分方程 (xe?1)dx?(xe?y)dy?0 的通解

y122y 2

解：设 P(x,y)?xe?1,Q(x,y)?y12yxe?y 2有

?P?Q ，则原方程为全微分方程，于是 ?xey??y?xxy1111u(x,y)??(x?1)dx??(x2ey?y)dy?x2?x?x2ey?y2

002222故 原方程的通解为 x2?2x?x2ey?y2?C 4、（10分）求解 2yy???y??y,y(0)?1,y?(0)?解：此方程不含x，令 y??P，则 y???P231 2dP，原方程化为 dy2yPdPdP12?P2?y3,2P?P?y2 dydyy2此方程为贝努力方程，令 P?z，上述方程化为

?lny2lny则 z?e[yedy?C1]，

dz1?z?y2 dyy?即 y??21C1141(y?C1)?y3?1，由初始条件 y(0)?1,y?(0)?

2y44y213dy13??y2 得 C1?0，于是，方程化为 y??y，或

4dx23?dy1312?y，即 y2dy?dx，积分得 由初始条件应取

dx2211??x?C2，再由初始条件y(0)?1得 C2?1，

4y所以原方程的特解为

111?1?x 或 y?

x42y(1?)43